Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
Então, o enunciado pede: “Para a equação
a gente tem que localizar as raízes reais e, usando métodos numéricos (com precisão
1) conhecer
2) escolher um intervalo com mudança de sinal (para o método da bisseção);
3) a fórmula da iteração de Newton, usando
4) critério de parada
Passo 2
Primeiro, a gente tenta achar onde
muda de sinal ou testa valores inteiros:
-
→ dá raiz em . -
→ dá raiz em .
Então as raízes reais sãoe . Pra aplicar bisseção, bracketeamos em, por exemplo, - Raiz
: intervalo inicial (lá , ). - Raiz
: intervalo inicial (lá , ).
Passo 3
Método da Bisseção (tolerância
):
– Critério: a cada iteração a largura do intervalo cai pela metade; paramos quando .
– Número mínimo de iterações:
– Critério: a cada iteração a largura do intervalo cai pela metade; paramos quando
– Número mínimo de iterações:
$$N\ge\log_2\frac{comprimento inicial}{\varepsilon}
=\log_2\frac{1}{10^{-6}}\approx20.$$
– Resultado final (aplicando ~20 iterações):
• Raiz em converge para
;
• Raiz em converge para
.
– Resultado final (aplicando ~20 iterações):
• Raiz em
• Raiz em
Passo 4
Método de Newton (tolerância
):
– Derivada:
– Derivada:
– Iteração:
– Escolhemos chute inicial:
para a raiz
, e
para a raiz
.
– Critério: .
– Convergência típica (mostrando só as contagens):
• Para : em cerca de 4 iterações chega em
;
• Para : em cerca de 7 iterações chega em
.
– Critério:
– Convergência típica (mostrando só as contagens):
• Para
• Para
Passo 5
Comparação:
- Bisseção: garante convergência em ~20 iterações para cada raiz.
- Newton: converge bem mais rápido (4 iterações para
, 7 para ), mas exige cálculo de e pode ser mais sensível a chutes iniciais (a raiz é múltipla e dá convergência ligeiramente mais lenta).
Resposta
As raízes reais da equação
são
com precisão