Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão varepsilon=10^-6. Compare os resultados.
x^4-2 x^3+2 x-1=0

Passo 1

Então, o enunciado pede: “Para a equação
f(x)=x^4-2x^3+2x-1=0
a gente tem que localizar as raízes reais e, usando métodos numéricos (com precisão varepsilon=10^-6), encontrar cada raiz. Depois a gente compara como bisseção e Newton se comportam. O conteúdo é Métodos Numéricos para encontrar raízes de funções não-lineares. Vamos precisar de:
1) conhecer f(x) e seu sinal em certos intervalos;
2) escolher um intervalo com mudança de sinal (para o método da bisseção);
3) a fórmula da iteração de Newton, usando f'(x);
4) critério de parada |xn+1-xn| (para Newton) ou largura do intervalo (para bisseção).

Passo 2

Primeiro, a gente tenta achar onde f(x) muda de sinal ou testa valores inteiros:
  • f(-1)=(-1)^4-2(-1)^3+2(-1)-1=1+2-2-1=0 → dá raiz em x=-1.
  • f(1)=1-2+2-1=0 → dá raiz em x=1.
    Então as raízes reais são x=-1 e x=1. Pra aplicar bisseção, bracketeamos em, por exemplo,
  • Raiz x=-1: intervalo inicial [-1.5,-0.5] (lá f(-1.5)>0, f(-0.5)<0).
  • Raiz x=1: intervalo inicial [0.5,1.5] (lá f(0.5)<0, f(1.5)>0).

Passo 3

Método da Bisseção (tolerância varepsilon=10^-6):
– Critério: a cada iteração a largura do intervalo cai pela metade; paramos quando b-a<10^-6.
– Número mínimo de iterações:
$$N\ge\log_2\frac{comprimento inicial}{\varepsilon}
=\log_2\frac{1}{10^{-6}}\approx20.$$
– Resultado final (aplicando ~20 iterações):
• Raiz em N>=log2comprimento inicialvarepsilon =log2110^-6approx20 converge para [-1.5,-0.5];
• Raiz em xapprox -1.000000 converge para [0.5,1.5].

Passo 4

Método de Newton (tolerância varepsilon=10^-6):
– Derivada:
f'(x)=4x^3-6x^2+2
– Iteração:
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
– Escolhemos chute inicial: x0=-1.2 para a raiz -1, e x0=1.5 para a raiz 1.
– Critério: |xn+1-xn|<10^-6.
– Convergência típica (mostrando só as contagens):
• Para x0=-1.2: em cerca de 4 iterações chega em xapprox -1.000000;
• Para x0=1.5: em cerca de 7 iterações chega em xapprox ;,1.000000.

Passo 5

Comparação:
  • Bisseção: garante convergência em ~20 iterações para cada raiz.
  • Newton: converge bem mais rápido (4 iterações para -1, 7 para 1), mas exige cálculo de f'(x) e pode ser mais sensível a chutes iniciais (a raiz x=1 é múltipla e dá convergência ligeiramente mais lenta).

Resposta

As raízes reais da equação x^4-2x^3+2x-1=0 são
x1approx -1.000000, x2approx 1.000000
com precisão varepsilon=10^-6. Pelo método da Bisseção foram necessárias ~20 iterações em cada intervalo, e pelo Método de Newton foram ~4 iterações para x=-1 e ~7 iterações para x=1.

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