Para cada função abaixo, determine um intervalo de comprimento 1 que possua pelo menos uma raiz da função. Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar um intervalo de comprimento
que contenha pelo menos uma raiz da função, com justificativa.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica de (polinômio de grau
) e o pedido de um intervalo real de comprimento
que tenha pelo menos um ponto
tal que
.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica de
Passo 2
O que é uma raiz e que estratégia vamos usar (explicação didática).
- Chamamos de raiz (ou zero) de
um número tal que . - Uma ferramenta muito útil para garantir existência de raiz num intervalo é o seguinte princípio (enunciado e explicação): se uma função
é contínua num intervalo fechado e os valores e têm sinais opostos (ou seja, ), então existe pelo menos um ponto com . Em linguagem simples: uma curva contínua que vai de negativo a positivo (ou vice‑versa) tem de cruzar o eixo . - Por que podemos aplicar isso aqui? Polinômios são funções construídas por somas e produtos de potências de
; cada potência é contínua, e soma/produto de funções contínuas é contínuo. Portanto é contínua para todo . Isso permite usar o princípio acima.
Passo 3
Calcular valores de
em pontos distantes 1 unidade e verificar sinal.
- Calcular em
: Portanto .\n - Calcular em
: Portanto .\n
Temos. Assim os sinais em e são opostos.
Passo 4
Aplicar o princípio (teorema do valor intermediário) para concluir existência de raiz.
Como é contínua em
e
e
têm sinais opostos, pelo teorema do valor intermediário existe pelo menos um
tal que
. O intervalo
tem comprimento
, portanto atende ao pedido.
Como
Passo 5
Comentário extra (útil na prova): unicidade da raiz.
Calcule a derivada para ver monotonicidade: Como
para todo
, tem-se
para todo
. Logo
é estritamente crescente em
. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz, então a raiz que encontramos em
é a única raiz real de
. Isso é bom para a prova: além de garantir existência, garante que ela está em
e é única.
Calcule a derivada para ver monotonicidade: