Para cada função abaixo, determine um intervalo de comprimento 1 que possua pelo menos uma raiz da função. Justifique.
f(x)=x^{3}+x-1

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=x^{3}+x-1\; e pede: determinar um intervalo de comprimento 1 que contenha pelo menos uma raiz da função, com justificativa.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica de f (polinômio de grau 3) e o pedido de um intervalo real de comprimento 1 que tenha pelo menos um ponto c tal que f\text{(c)}=0.

Passo 2

O que é uma raiz e que estratégia vamos usar (explicação didática).
  • Chamamos de raiz (ou zero) de f um número c tal que \;f\text{(c)}=0\;.
  • Uma ferramenta muito útil para garantir existência de raiz num intervalo é o seguinte princípio (enunciado e explicação): se uma função f é contínua num intervalo fechado [a,b] e os valores f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) com \;f\text{(c)}=0\;. Em linguagem simples: uma curva contínua que vai de negativo a positivo (ou vice‑versa) tem de cruzar o eixo x.
  • Por que podemos aplicar isso aqui? Polinômios são funções construídas por somas e produtos de potências de x; cada potência x^n é contínua, e soma/produto de funções contínuas é contínuo. Portanto \;f(x)=x^{3}+x-1\; é contínua para todo x\in\mathbb{R}. Isso permite usar o princípio acima.

Passo 3

Calcular valores de f em pontos distantes 1 unidade e verificar sinal.
  • Calcular em x=0: \;f(0)=0^{3}+0-1=-1. Portanto \;f(0)=-1<0.\n
  • Calcular em x=1: \;f(1)=1^{3}+1-1=1. Portanto \;f(1)=1>0.\n
    Temos f(0)\cdot f(1) = (-1)\cdot 1 = -1 < 0. Assim os sinais em 0 e 1 são opostos.

Passo 4

Aplicar o princípio (teorema do valor intermediário) para concluir existência de raiz.
Como f é contínua em [0,1] e f(0) e f(1) têm sinais opostos, pelo teorema do valor intermediário existe pelo menos um c\in(0,1) tal que \;f\text{(c)}=0. O intervalo [0,1] tem comprimento 1, portanto atende ao pedido.

Passo 5

Comentário extra (útil na prova): unicidade da raiz.
Calcule a derivada para ver monotonicidade: \;f'(x)=3x^{2}+1\;. Como 3x^{2}\ge 0 para todo x, tem-se f'(x)\ge 1>0 para todo x. Logo f é estritamente crescente em \mathbb{R}. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz, então a raiz que encontramos em (0,1) é a única raiz real de f. Isso é bom para a prova: além de garantir existência, garante que ela está em (0,1) e é única.

Resposta

[0,1]

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