Enumere, localize e separe as raízes reais das equações abaixo. Em seguida utilize o método do ponto fixo para encontrar, caso exista, uma raiz real negativa e o método de Newton-Raphson para encontrar, caso exista, uma raiz real positiva destas equações. Nos métodos iterativos, trabalhe com arredondamento para 3 casas decimais e utilize o critério de parada
, onde
corresponde à
-ésima aproximação para
valor da raiz.
Passo 1
O enunciado pede as seguintes coisas sobre a equação
- Enumerar as raízes reais desta equação.
- Localizar e separar (isolar) essas raízes reais em intervalos.
- Usar o método do ponto fixo para encontrar, se existir, uma raiz real negativa — trabalhar com arredondamento para 3 casas decimais e critério de parada
. - Usar o método de Newton–Raphson para encontrar, se existir, uma raiz real positiva — com o mesmo arredondamento e critério de parada.
Informações dadas explicitamente: o polinômio
e as regras de iteração: arredondar para 3 casas decimais em cada iteração e parar quando
.
Passo 2
Vou procurar as raízes reais do polinômio. Uma boa prática com polinômios é testar números inteiros pequenos (divisores do termo independente) para ver se são raízes exatas. Testando
:
Calcule passo a passo:
Somando:
Logo
é uma raiz exata.
Passo 3
Vou dividir o polinômio por
para reduzir o grau e buscar outras raízes. Uso divisão sintética (método prático para dividir por
).
Coefficients:
. Aplicando
:
- Trago
. - Multiplico
; somo com obtendo . - Multiplico
; somo com obtendo . - Multiplico
; somo com obtendo . - Multiplico
; somo com obtendo (resto).
O quociente é
e resto
. Logo
Passo 4
Testo novamente
no quociente
:
portanto
é raiz do quociente também (ou seja, raiz de multiplicidade maior). Faço divisão sintética do quociente por
:
Coeficientes do quociente:
. Aplicando
:
- Trago
. -
; somo com obtenho . -
; somo com obtenho . -
; somo com obtenho .
Quociente agora é
. Assim
Passo 5
Da fatoração
concluímos as raízes:
-
(com multiplicidade ). -
(raízes complexas, não reais).
Portanto as únicas raízes reais são
(duas vezes). Não há raízes reais negativas.
Passo 6
Isolamento/separação da(s) raiz(es) reais: como existe apenas
, a separação consiste em indicar um intervalo que contenha essa raiz e não contenha outras reais. Pela fatoração sabe-se que a raiz real está em
exatamente; um intervalo de isolamento prático (útil para métodos numéricos) é por exemplo
ou mais apertado
. Observação: por ser raiz de multiplicidade
a função toca o eixo em
sem trocar de sinal (testes:
,
), então o sinal é positivo à esquerda e à direita; ainda assim o ponto
é a única raiz real.
Passo 7
Método do ponto fixo para raiz real negativa: antes de aplicar o método, é necessário verificar se existe raiz negativa. Da fatoração
observamos que para todo
tem
e
; o produto só é zero quando
. Então não existe raiz real negativa. Conclusão: não há como encontrar uma raiz real negativa com ponto fixo porque a equação não possui raiz negativa. Portanto o método do ponto fixo não se aplica aqui (não existe solução negativa a ser encontrada).
Passo 8
Método de Newton–Raphson para encontrar uma raiz real positiva: como há uma raiz positiva
(multiplicidade 2), aplico Newton–Raphson. Lembrete da fórmula:
onde
e
Uma simplificação útil usando a fatoração é:
e
Isso simplifica a fração:
Assim a atualização de Newton fica
Escolho um chute inicial razoável
(positivo e perto de
). Vou iterar usando a regra pedida: arredondar cada aproximação
para 3 casas decimais e usar esse valor para calcular a próxima iteração; parar quando
.
Passo 9
Iterações de Newton–Raphson (cada
mostrado já está arredondado para 3 casas decimais). Para cada iteração mostro os cálculos essenciais (usar os valores arredondados):
-
.
Calcule
Diferença
.
-
.
Calcule (usando
arredondado):
Diferença
.
-
.
Calcule:
Diferença
.
-
.
Calcule:
Diferença
.
-
.
Calcule:
Diferença
(ainda NÃO é menor que
).
-
.
Calcule:
Diferença
. Critério de parada satisfeito.
Passo 10
Interpretação dos resultados de Newton: a iteração convergiu para
(com iterações e arredondamentos de 3 casas decimais), obedecendo o critério
. O valor teórico exato da raiz é
, e a aproximação encontrada está muito próxima (erro aproximadamente
).
Resposta
Raízes reais:
(multiplicidade
).
Intervalo de isolamento: por exemplo (ou
) contém a raiz real
.
Raiz real negativa via método do ponto fixo: não existe (a equação não tem raiz real negativa).
Raiz real positiva via Newton–Raphson: (aproximação obtida com as iterações descritas).
Intervalo de isolamento: por exemplo
Raiz real negativa via método do ponto fixo: não existe (a equação não tem raiz real negativa).
Raiz real positiva via Newton–Raphson: