Enumere, localize e separe as raízes reais das equações abaixo. Em seguida utilize o método do ponto fixo para encontrar, caso exista, uma raiz real negativa e o método de Newton-Raphson para encontrar, caso exista, uma raiz real positiva destas equações. Nos métodos iterativos, trabalhe com arredondamento para 3 casas decimais e utilize o critério de parada \left|x_{k}-x_{k-1}\right|<0.01, onde x_{k} corresponde à k-ésima aproximação para o valor da raiz.
x^{4}-6 x^{3}+10 x^{2}-6 x+9=0

Passo 1

O enunciado pede as seguintes coisas sobre a equação
x^{4}-6x^{3}+10x^{2}-6x+9=0
  • Enumerar as raízes reais desta equação.
  • Localizar e separar (isolar) essas raízes reais em intervalos.
  • Usar o método do ponto fixo para encontrar, se existir, uma raiz real negativa — trabalhar com arredondamento para 3 casas decimais e critério de parada \left|x_{k}-x_{k-1}\right|<0,01.
  • Usar o método de Newton–Raphson para encontrar, se existir, uma raiz real positiva — com o mesmo arredondamento e critério de parada.
Informações dadas explicitamente: o polinômio \;x^{4}-6x^{3}+10x^{2}-6x+9\; e as regras de iteração: arredondar para 3 casas decimais em cada iteração e parar quando \left|x_{k}-x_{k-1}\right|<0,01.

Passo 2

Vou procurar as raízes reais do polinômio. Uma boa prática com polinômios é testar números inteiros pequenos (divisores do termo independente) para ver se são raízes exatas. Testando x=3:
f(3)=3^{4}-6\cdot3^{3}+10\cdot3^{2}-6\cdot3+9.
Calcule passo a passo:
3^{4}=81,\quad 6\cdot3^{3}=6\cdot27=162,\quad 10\cdot3^{2}=10\cdot9=90,
-6\cdot3=-18,\quad +9=9.
Somando:
81-162+90-18+9=0.
Logo x=3 é uma raiz exata.

Passo 3

Vou dividir o polinômio por (x-3) para reduzir o grau e buscar outras raízes. Uso divisão sintética (método prático para dividir por (x-c)).
Coefficients: 1,\,-6,\,10,\,-6,\,9. Aplicando c=3:
  • Trago 1.
  • Multiplico 1\cdot3=3; somo com -6 obtendo -3.
  • Multiplico -3\cdot3=-9; somo com 10 obtendo 1.
  • Multiplico 1\cdot3=3; somo com -6 obtendo -3.
  • Multiplico -3\cdot3=-9; somo com 9 obtendo 0 (resto).
O quociente é x^{3}-3x^{2}+x-3 e resto 0. Logo
x^{4}-6x^{3}+10x^{2}-6x+9=(x-3)(x^{3}-3x^{2}+x-3).

Passo 4

Testo novamente x=3 no quociente x^{3}-3x^{2}+x-3:
3^{3}-3\cdot3^{2}+3-3 =27-27+0=0,
portanto x=3 é raiz do quociente também (ou seja, raiz de multiplicidade maior). Faço divisão sintética do quociente por (x-3):
Coeficientes do quociente: 1,\,-3,\,1,\,-3. Aplicando c=3:
  • Trago 1.
  • 1\cdot3=3; somo com -3 obtenho 0.
  • 0\cdot3=0; somo com 1 obtenho 1.
  • 1\cdot3=3; somo com -3 obtenho 0.
Quociente agora é x^{2}+0x+1=x^{2}+1. Assim
x^{4}-6x^{3}+10x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}(x^{2}+1).

Passo 5

Da fatoração (x-3)^{2}(x^{2}+1)=0 concluímos as raízes:
  • x-3=0\Rightarrow x=3 (com multiplicidade 2).
  • x^{2}+1=0\Rightarrow x=\pm i (raízes complexas, não reais).
Portanto as únicas raízes reais são x=3 (duas vezes). Não há raízes reais negativas.

Passo 6

Isolamento/separação da(s) raiz(es) reais: como existe apenas x=3, a separação consiste em indicar um intervalo que contenha essa raiz e não contenha outras reais. Pela fatoração sabe-se que a raiz real está em x=3 exatamente; um intervalo de isolamento prático (útil para métodos numéricos) é por exemplo [2,4] ou mais apertado [2{,}5,3{,}5]. Observação: por ser raiz de multiplicidade 2 a função toca o eixo em x=3 sem trocar de sinal (testes: f(2)=5>0, f(4)=17>0), então o sinal é positivo à esquerda e à direita; ainda assim o ponto x=3 é a única raiz real.

Passo 7

Método do ponto fixo para raiz real negativa: antes de aplicar o método, é necessário verificar se existe raiz negativa. Da fatoração (x-3)^{2}(x^{2}+1) observamos que para todo x\in\mathbb{R} tem x^{2}+1>0 e (x-3)^{2}\ge0; o produto só é zero quando x=3. Então não existe raiz real negativa. Conclusão: não há como encontrar uma raiz real negativa com ponto fixo porque a equação não possui raiz negativa. Portanto o método do ponto fixo não se aplica aqui (não existe solução negativa a ser encontrada).

Passo 8

Método de Newton–Raphson para encontrar uma raiz real positiva: como há uma raiz positiva x=3 (multiplicidade 2), aplico Newton–Raphson. Lembrete da fórmula:
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})},
onde f(x)=x^{4}-6x^{3}+10x^{2}-6x+9 e
f'(x)=4x^{3}-18x^{2}+20x-6.
Uma simplificação útil usando a fatoração é:
f(x)=(x-3)^{2}(x^{2}+1)
e
f'(x)=2(x-3)\bigl(2x^{2}-3x+1\bigr)\quad\text{(fácil de verificar)}.á
Isso simplifica a fração:
\frac{f(x)}{f'(x)}=\frac{(x-3)(x^{2}+1)}{2(2x^{2}-3x+1)}.
Assim a atualização de Newton fica
x_{k+1}=x_{k}-\frac{(x_{k}-3)(x_{k}^{2}+1)}{2(2x_{k}^{2}-3x_{k}+1)}.
Escolho um chute inicial razoável x_{0}=2 (positivo e perto de 3). Vou iterar usando a regra pedida: arredondar cada aproximação x_{k} para 3 casas decimais e usar esse valor para calcular a próxima iteração; parar quando \left|x_{k}-x_{k-1}\right|<0,01.

Passo 9

Iterações de Newton–Raphson (cada x_{k} mostrado já está arredondado para 3 casas decimais). Para cada iteração mostro os cálculos essenciais (usar os valores arredondados):
  1. x_{0}=2{,}000.
Calcule
\frac{(x_{0}-3)(x_{0}^{2}+1)}{2(2x_{0}^{2}-3x_{0}+1)}=\frac{(-1)(4+1)}{2(8-6+1)}=\frac{-5}{6}=-0{,}833333\ldots
x_{1}=2{,}000-(-0{,}833333\ldots)=2{,}833333\ldots\Rightarrow x_{1}=2{,}833\\ (\text{arred. 3 decimais}).
Diferença |x_{1}-x_{0}|=0{,}833>0{,}01.
  1. x_{1}=2{,}833.
Calcule (usando x_{1} arredondado):
x_{1}^{2}=8{,}025889\approx8{,}026,\quad x_{1}^{2}+1\approx9{,}026,
2x_{1}^{2}-3x_{1}+1\approx16{,}052-8{,}499+1=8{,}553,
\text{fração}\approx\frac{(2{,}833-3)(9{,}026)}{2\cdot8{,}553}=\frac{-0{,}167\cdot9{,}026}{17{,}106}\approx\frac{-1{,}504}{17{,}106}\approx-0{,}08794\approx-0{,}088.çã
x_{2}=2{,}833-(-0{,}088)=2{,}921\quad(\text{arred. 3 decimais}).
Diferença |x_{2}-x_{1}|=0{,}088>0{,}01.
  1. x_{2}=2{,}921.
Calcule:
x_{2}^{2}=8{,}532241\approx8{,}532,\quad x_{2}^{2}+1\approx9{,}532,
2x_{2}^{2}-3x_{2}+1\approx17{,}064-8{,}763+1=9{,}301,
\text{fração}\approx\frac{(-0{,}079)\cdot9{,}532}{2\cdot9{,}301}=\frac{-0{,}753}{18{,}602}\approx-0{,}04048\approx-0{,}040.çã
x_{3}=2{,}921-(-0{,}040)=2{,}961\quad(\text{arred. 3 decimais}).
Diferença |x_{3}-x_{2}|=0{,}040>0{,}01.
  1. x_{3}=2{,}961.
Calcule:
x_{3}^{2}=8{,}767521\approx8{,}768,\quad x_{3}^{2}+1\approx9{,}768,
2x_{3}^{2}-3x_{3}+1\approx17{,}536-8{,}883+1=9{,}653,
\text{fração}\approx\frac{(-0{,}039)\cdot9{,}768}{2\cdot9{,}653}=\frac{-0{,}3816}{19{,}306}\approx-0{,}0198\approx-0{,}020.çã
x_{4}=2{,}961-(-0{,}020)=2{,}981\quad(\text{arred. 3 decimais}).
Diferença |x_{4}-x_{3}|=0{,}020>0{,}01.
  1. x_{4}=2{,}981.
Calcule:
x_{4}^{2}=8{,}886361\approx8{,}886,\quad x_{4}^{2}+1\approx9{,}886,
2x_{4}^{2}-3x_{4}+1\approx17{,}772-8{,}943+1=9{,}829,
\text{fração}\approx\frac{(-0{,}019)\cdot9{,}886}{2\cdot9{,}829}=\frac{-0{,}1878}{19{,}658}\approx-0{,}00956\approx-0{,}010.çã
x_{5}=2{,}981-(-0{,}010)=2{,}991\quad(\text{arred. 3 decimais}).
Diferença |x_{5}-x_{4}|=0{,}010 (ainda NÃO é menor que 0{,}01).
  1. x_{5}=2{,}991.
Calcule:
x_{5}^{2}=8{,}946081\approx8{,}946,\quad x_{5}^{2}+1\approx9{,}946,
2x_{5}^{2}-3x_{5}+1\approx17{,}892-8{,}973+1=9{,}919,
\text{fração}\approx\frac{(-0{,}009)\cdot9{,}946}{2\cdot9{,}919}=\frac{-0{,}0895}{19{,}838}\approx-0{,}00451\approx-0{,}005.çã
x_{6}=2{,}991-(-0{,}005)=2{,}996\quad(\text{arred. 3 decimais}).
Diferença |x_{6}-x_{5}|=0{,}005<0{,}01. Critério de parada satisfeito.

Passo 10

Interpretação dos resultados de Newton: a iteração convergiu para x\approx2{,}996 (com iterações e arredondamentos de 3 casas decimais), obedecendo o critério \left|x_{k}-x_{k-1}\right|<0{,}01. O valor teórico exato da raiz é x=3, e a aproximação encontrada está muito próxima (erro aproximadamente 0{,}004).

Resposta

Raízes reais: x=3 (multiplicidade 2).
Intervalo de isolamento: por exemplo [2{,}5,3{,}5] (ou [2,4]) contém a raiz real x=3.
Raiz real negativa via método do ponto fixo: não existe (a equação não tem raiz real negativa).
Raiz real positiva via Newton–Raphson: x\approx2{,}996 (aproximação obtida com as iterações descritas).

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