Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios:
Passo 1
O enunciado pede que eu enumere (conte), localize (ache intervalos onde estão) e separe (isole) as raízes do polinômio
Informações dadas / objetivo claro:
- O polinômio é
. - Quero determinar quantas raízes reais ele tem, indicar intervalos que contenham cada raiz real (isolá‑las) e informar o que acontece com as outras raízes (se forem complexas).
A resolução começa agora.
Passo 2
Primeiro, verifico possíveis raízes racionais com o Teorema das Raízes Racionais. Como os coeficientes inteiros têm termo independente
e coeficiente líder
, os candidatos racionais são
Avalio
nesses pontos:
Conclusão: não há raízes racionais entre os candidatos
.
Passo 3
Uso a Regra de Descartes para estimar quantas raízes positivas e negativas reais podem existir.
-
Para
: os sinais dos coeficientes de são . Há exatamente mudanças de sinal, então o número de raízes reais positivas é ou . -
Para
: considero com sinais . Há mudanças de sinal, então o número de raízes reais negativas é ou .
Portanto, as possibilidades para o número total de raízes reais são
ou
. Preciso mais investigação para decidir qual caso ocorre.
Passo 4
Procuro mudanças de sinal de
avaliando em pontos estratégicos (Teorema do Valor Intermediário) para localizar raízes reais.
Calculei alguns valores:
Como
é contínua, existe pelo menos uma raiz em
.
Agora verifico sinais em pontos menores que
:
Como
e
e para
temos
, não observo trocas de sinal adicionais para
nesses pontos testados. Ainda pode haver curvas que cruzem o eixo várias vezes, por isso preciso investigar a monotonicidade para garantir o número de raízes negativas.
Para
avaliei vários pontos:
Não encontrei troca de sinal em
. Isso sugere que pode não haver raízes positivas. Para ter certeza sobre o número total de raízes reais, é conveniente estudar se
é estritamente crescente (ou não): se
for estritamente crescente em
, então só pode cruzar o eixo uma vez e teremos exatamente uma raiz real (já localizada em
).
Passo 5
Estudo a derivada para verificar monotonicidade. A derivada é
Se eu mostrar que
para todo
, então
é estritamente crescente e tem exatamente uma raiz real.
Para isso, calculo a segunda derivada para encontrar possíveis extremos de
:
As soluções de
são
e as raízes de
. Essas raízes valem
Numericamente:
Assim, os pontos críticos de
(onde
pode ter máximos ou mínimos) são
.
Agora avalio
nesses pontos (cálculos aproximados, cada valor mostrado com conta resumida):
-
-
Para
uso . Então
- Para
uso . Então
Como
tende a
quando
, é contínua e assume valores positivos nos seus pontos críticos, concluímos que
para todo
. Logo
é estritamente crescente em toda a reta real.
Consequência importante:
pode ter exatamente uma raiz real (pois sendo estritamente crescente cruza o eixo no máximo uma vez). Já detectamos a existência de uma raiz em
, então esse é o único zero real.
Passo 6
Agora isolo (separo) explicitamente essa única raiz real. Já usei avaliações em alguns pontos; faço uma bisseção para tornar o intervalo menor:
-
e ⇒ há raiz em . - Testes intermediários:
-
. -
.
Logo há uma raiz em. -
.
Então a raiz está em. -
. -
.
Portanto há uma raiz em.
-
Fiz mais uma interpolação linear rápida entre
e
e obtenho uma boa aproximação para a raiz real:
Como
(visto que
em toda reta), essa raiz é simples.
As outras quatro raízes são todas não reais (formam dois pares de conjugados complexos), pois o polinômio tem grau
e já contamos 1 real; os demais devem ser complexos em número par.
Resposta
Número de raízes reais:
.
A raiz real está localizada no intervalo
e vale aproximadamente
.
As outras
raízes são complexas não reais (duas pares de conjugados).