Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios:
p(x)=3 x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1

Passo 1

O enunciado pede que eu enumere (conte), localize (ache intervalos onde estão) e separe (isole) as raízes do polinômio
p(x)=3x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1.
Informações dadas / objetivo claro:
  • O polinômio é p(x)=3x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1.
  • Quero determinar quantas raízes reais ele tem, indicar intervalos que contenham cada raiz real (isolá‑las) e informar o que acontece com as outras raízes (se forem complexas).
    A resolução começa agora.

Passo 2

Primeiro, verifico possíveis raízes racionais com o Teorema das Raízes Racionais. Como os coeficientes inteiros têm termo independente 1 e coeficiente líder 3, os candidatos racionais são
\pm 1,\\ \pm \tfrac{1}{3}.
Avalio p nesses pontos:
p(1)=3-1-1+1+1=3\neq0,
p(-1)=-3-1+1-1+1=-3\neq0,
p\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\text{(cálculo rápido)}\approx1{,}288\neq0,áá
p\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)\approx0{,}378\neq0.
Conclusão: não há raízes racionais entre os candidatos \pm1,\pm\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Uso a Regra de Descartes para estimar quantas raízes positivas e negativas reais podem existir.
  • Para x>0: os sinais dos coeficientes de p(x) são +,-,-,+,+. Há exatamente 2 mudanças de sinal, então o número de raízes reais positivas é 2 ou 0.
  • Para x<0: considero p(-x)=-3x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1 com sinais -,-,+,-,+. Há 3 mudanças de sinal, então o número de raízes reais negativas é 3 ou 1.
Portanto, as possibilidades para o número total de raízes reais são 5,3 ou 1. Preciso mais investigação para decidir qual caso ocorre.

Passo 4

Procuro mudanças de sinal de p(x) avaliando em pontos estratégicos (Teorema do Valor Intermediário) para localizar raízes reais.
Calculei alguns valores:
p(0)=1>0,\qquad p(-1)=-3<0.
Como p é contínua, existe pelo menos uma raiz em (-1,0).
Agora verifico sinais em pontos menores que -1:
p(-1{,}5)\approx -24{,}97<0,\qquad p(-2)=-105<0.
Como p(-1)<0 e p(-2)<0 e para x\to -\infty temos p(x)\to -\infty, não observo trocas de sinal adicionais para x\le -1 nesses pontos testados. Ainda pode haver curvas que cruzem o eixo várias vezes, por isso preciso investigar a monotonicidade para garantir o número de raízes negativas.
Para x>0 avaliei vários pontos:
p(0)=1>0,\quad p(0{,}2)\approx1{,}19>0,\quad p(0{,}5)\approx1{,}406>0,\quad p(1)=3>0,\quad p(2)=75>0.
Não encontrei troca de sinal em [0,\infty). Isso sugere que pode não haver raízes positivas. Para ter certeza sobre o número total de raízes reais, é conveniente estudar se p é estritamente crescente (ou não): se p for estritamente crescente em \mathbb{R}, então só pode cruzar o eixo uma vez e teremos exatamente uma raiz real (já localizada em (-1,0)).

Passo 5

Estudo a derivada para verificar monotonicidade. A derivada é
p'(x)=15x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+1.
Se eu mostrar que p'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}, então p é estritamente crescente e tem exatamente uma raiz real.
Para isso, calculo a segunda derivada para encontrar possíveis extremos de p':
p''(x)=60x^{3}-12x^{2}-6x = 6x\,(10x^{2}-2x-1).
As soluções de p''(x)=0 são x=0 e as raízes de 10x^{2}-2x-1=0. Essas raízes valem
x=\frac{1\pm\sqrt{11}}{10}.
Numericamente:
\frac{1-\sqrt{11}}{10}\approx -0{,}23166,\qquad \frac{1+\sqrt{11}}{10}\approx 0{,}43166.
Assim, os pontos críticos de p' (onde p' pode ter máximos ou mínimos) são x\approx -0{,}23166,\\\ 0,\\\ 0{,}43166.
Agora avalio p' nesses pontos (cálculos aproximados, cada valor mostrado com conta resumida):
  • p'(0)=1>0.
  • Para x\approx -0{,}23166 uso x^{2}\approx0{,}05366,\\ x^{3}\approx -0{,}01243,\\ x^{4}\approx0{,}00288. Então
p'(x)\approx 15(0{,}00288)-4(-0{,}01243)-3(0{,}05366)+1 \approx 0{,}0432+0{,}0497-0{,}16098+1\approx0{,}932>0.
  • Para x\approx 0{,}43166 uso x^{2}\approx0{,}1863,\\ x^{3}\approx0{,}0804,\\ x^{4}\approx0{,}0347. Então
p'(x)\approx 15(0{,}0347)-4(0{,}0804)-3(0{,}1863)+1 \approx0{,}5205-0{,}3216-0{,}5589+1\approx0{,}640>0.
Como p'(x) tende a +\infty quando |x|\to\infty, é contínua e assume valores positivos nos seus pontos críticos, concluímos que p'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Logo p é estritamente crescente em toda a reta real.
Consequência importante: p pode ter exatamente uma raiz real (pois sendo estritamente crescente cruza o eixo no máximo uma vez). Já detectamos a existência de uma raiz em (-1,0), então esse é o único zero real.

Passo 6

Agora isolo (separo) explicitamente essa única raiz real. Já usei avaliações em alguns pontos; faço uma bisseção para tornar o intervalo menor:
  • p(-1)=-3<0 e p(0)=1>0 ⇒ há raiz em (-1,0).
  • Testes intermediários:
    • p(-0{,}7)\approx -0{,}10131<0.
    • p(-0{,}6)\approx 0{,}25312>0.
      Logo há uma raiz em (-0{,}7,-0{,}6).
    • p(-0{,}65)\approx 0{,}09803>0.
      Então a raiz está em (-0{,}7,-0{,}65).
    • p(-0{,}675)\approx 0{,}004577>0.
    • p(-0{,}678)\approx -0{,}007436<0.
      Portanto há uma raiz em (-0{,}678,-0{,}675).
Fiz mais uma interpolação linear rápida entre p(-0{,}675) e p(-0{,}678) e obtenho uma boa aproximação para a raiz real:
x_{\text{real}}\approx -0{,}67614\quad(\text{aprox.}).
Como p'\bigl(x_{\text{real}}\bigr)\neq0 (visto que p'>0 em toda reta), essa raiz é simples.
As outras quatro raízes são todas não reais (formam dois pares de conjugados complexos), pois o polinômio tem grau 5 e já contamos 1 real; os demais devem ser complexos em número par.

Resposta

Número de raízes reais: 1.
A raiz real está localizada no intervalo (-0,678,-0,675) e vale aproximadamente -0,67614.
As outras 4 raízes são complexas não reais (duas pares de conjugados).

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