Para cada uma das funções a seguir, encontre um polinômio interpolador para os dados indicados.
w(x)=cos (ln (x)) para x0=1, x1=2, x2=5 e x3=10.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui? Queremos um polinômio de grau até 3 que “casa” com a função
w(x)=cosl(ln(x)r)
nos pontos
x0=1, x1=2, x2=5, x3=10
O conteúdo é interpolação polinomial—vamos usar o método das diferenças divididas e montar o polinômio de Newton. Vamos precisar de:
  1. Valores de w(xi);
  2. Diferenças divididas de 1ª, 2ª e 3ª ordem;
  3. Fórmula de Newton para construir o polinômio.

Passo 2

Primeiro, calcula os valores da função nos nós:
f0&=w(1)=cos(ln1)=cos(0)=1, f1&=w(2)=cos(ln2), f2&=w(5)=cos(ln5), f3&=w(10)=cos(ln10)

Passo 3

Agora monta as diferenças divididas de 1ª ordem:
f[x0,x1]&=f1-f02-1 =cos(ln2)-1, f[x1,x2]&=f2-f15-2 =cos(ln5)-cos(ln2)3, f[x2,x3]&=f3-f210-5 =cos(ln10)-cos(ln5)5

Passo 4

Diferenças divididas de 2ª ordem:
f[x0,x1,x2] &=f[x1,x2]-f[x0,x1]5-1 =cos(ln5)-cos(ln2)3-l(cos(ln2)-1r)4, f[x1,x2,x3] &=f[x2,x3]-f[x1,x2]10-2 =cos(ln10)-cos(ln5)5-cos(ln5)-cos(ln2)38

Passo 5

Diferença dividida de 3ª ordem:
f[x0,x1,x2,x3] =f[x1,x2,x3]-f[x0,x1,x2]10-1
Ou seja,
f[x0,x1,x2,x3] =19gl(cos(ln10)-cos(ln5)5-cos(ln5)-cos(ln2)38 -cos(ln5)-cos(ln2)3-l(cos(ln2)-1r)4gr)

Passo 6

Por fim, o polinômio de Newton de grau 3 é
P3(x)&=f0 +f[x0,x1],(x-1) +f[x0,x1,x2],(x-1)(x-2) &+f[x0,x1,x2,x3],(x-1)(x-2)(x-5)

Resposta

boxed P3(x)&=1+l(cos(ln2)-1r)(x-1) &+cos(ln5)-cos(ln2)3-l(cos(ln2)-1r)4,(x-1)(x-2) &+19gl(cos(ln10)-cos(ln5)5-cos(ln5)-cos(ln2)38 -cos(ln5)-cos(ln2)3-l(cos(ln2)-1r)4gr),(x-1)(x-2)(x-5)

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