Para cada uma das funções a seguir, encontre um polinômio interpolador para os dados indicados.
z(x)=e^4 x+3 para x0=-2, x1=-1 e x2=0.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: a gente tem a função
z(x)=e^4x+3
e quer construir um polinômio de grau ≤2 que passe pelos pontos
x0=-2, x1=-1, x2=0
com as ordenadas dadas por .
O conteúdo aqui é Interpolação Polinomial de Lagrange. Vamos precisar:
  1. Calcular em cada ponto.
  2. Usar a fórmula dos polinômios base de Lagrange
  3. Montar e, se quiser, simplificar o resultado.

Passo 2

Primeiro calculemos os valores de z(x0)=e^4(-2)+3=e^-8+3=e^-5 nos três pontos:
  • Em z(x1)=e^4(-1)+3=e^-4+3=e^-1=1e : z(x2)=e^4cdot0+3=e^3
  • Em :
  • Em :

Passo 3

Agora a gente lembra da fórmula de Lagrange. Para três pontos, o polinômio interpolador é
P(x) =sumi=0^2 z(xi),Li(x),
onde
Li(x) =prodsubstackj=0jneq i^2x - xjxi - xj

Passo 4

Montando cada L0(x) =x - x1x0 - x1cdotx - x2x0 - x2 =x - (-1)-2 - (-1)cdotx - 0-2 - 0 =(x+1),x(-1),(-2) =x(x+1)2 :
  1. L1(x) =x - x0x1 - x0cdotx - x2x1 - x2 =x - (-2)-1 - (-2)cdotx - 0-1 - 0 =(x+2),x1cdot(-1) =-;x(x+2) , para L2(x) =x - x00 - (-2)cdotx - x10 - (-1) =x+22cdotx+11 =(x+2)(x+1)2 ( P(x) =e^-5!cdotx(x+1)2 +1e!cdotl(-x(x+2)r) +e^3!cdot(x+2)(x+1)2 ):
  1. , para ( ):
  1. , para ( ):
Então o polinômio fica

Passo 5

Se quiser deixar mais certinho, dá pra reescrever como
P(x) =e^-52,x(x+1) ;-;1e,x(x+2) ;+;e^32,(x+2)(x+1)

Resposta

boxed% P(x) =e^-52,x(x+1) ;-;1e,x(x+2) ;+;e^32,(x+2)(x+1)

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