Para cada uma das funções a seguir, encontre um polinômio interpolador para os dados indicados.
h(x)=ln (x^3-x+5) para x0=2, x1=4 e x2=6.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a função

e três pontos , , .
O objetivo é achar um polinômio de grau até 2 que “crave” esses três pontos.
Conteúdo envolvido: interpolação polinomial pelo método de diferenças divididas de Newton.
O que vamos fazer:
  1. calcular ,
  2. montar as diferenças divididas,
  3. montar o polinômio de Newton.

Passo 2

Primeiro, avalia a função nos três pontos:
  • .
  • .
  • .
Então temos os pares
, , .

Passo 3

Agora as diferenças divididas:
  1. Primeira ordem:
f[x0,x1] =ln(65)-ln(11)4-2 =12,ln!l(tfrac6511r),
f[x1,x2] =ln(215)-ln(65)6-4 =12,ln!l(tfrac21565r)
  1. Segunda ordem:
f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]6-2 =tfrac12ln!l(tfrac21565r) -tfrac12ln!l(tfrac6511r)4 =18,ln!l(tfrac215/6565/11r) =18,ln!l(tfrac23654225r)
Lembra que, em Newton, a segunda diferença é só a diferença das primeiras dividida por .

Passo 4

Hora de montar o polinômio de Newton (com base em p(x) = f(x0) +f[x0,x1],(x-2) +f[x0,x1,x2],(x-2)(x-4) ):
p(x) =ln(11) +ln!l(tfrac6511r)2,(x-2) +ln!l(tfrac23654225r)8,(x-2)(x-4)
Substituindo tudo:

Resposta

boxed% p(x) =ln(11) +ln!l(tfrac6511r)2,(x-2) +ln!l(tfrac23654225r)8,(x-2)(x-4)
É o polinômio de grau 2 que interpola em .

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