Na tabela a seguir temos os valores da velocidade
de um carro em uma estrada reta a cada
quilômetros. Fazendo a escolha adequada dos pontos, faça o que se pede em cada item.
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0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 |
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0 | 30 | 45 | 48 | 46 | 50 | 62 | 66 | 60 |
Encontre um polinômio interpolador de grau 3 para prever a velocidade em
.
Passo 1
Beleza, a gente tem uma tabela com a velocidade
em função da distância
e quer um polinômio de grau 3 que dê a velocidade em
km. Isso faz parte de interpolação polinomial. Para resolver, vamos usar o método das diferenças divididas (forma de Newton), que é uma receita sistemática pra achar um polinômio que passa por 4 pontos escolhidos.
Passo 2
Como queremos estimar em
, faz sentido pegar quatro pontos “ao redor” desse valor. Vou escolher
porque eles ficam simetricamente em volta de 3,25 (distâncias de 0,75 e 0,25).
Passo 3
Agora construímos a tabela de diferenças divididas.
- Diferenças de primeira ordem:
- Diferenças de segunda ordem:$$f[x_2,x_1,x_0]=\frac{8-24}{3.5-2.5}=-16,\quadf[x_3,x_2,x_1]=\frac{-12-8}{4-3}=-20.
f[x_3,x_2,x_1,x_0]=\frac{-20-(-16)}{4-2.5}=\frac{-4}{1.5}=-\tfrac{8}{3}.$$
Passo 4
O polinômio em forma de Newton é
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora é só colocar
:
-
-
-
Somando tudo:
Resposta
O polinômio interpolador de grau 3 fica
e a previsão da velocidade em
km é