Na tabela a seguir temos os valores da velocidade v(em km / h) de um carro em uma estrada reta a cada x quilômetros. Fazendo a escolha adequada dos pontos, faça o que se pede em cada item.
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
v 0 30 45 48 46 50 62 66 60
Encontre um polinômio interpolador de grau 3 para prever a velocidade em 3,25 km.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma tabela com a velocidade v em função da distância x e quer um polinômio de grau 3 que dê a velocidade em x=3,25,km. Isso faz parte de interpolação polinomial. Para resolver, vamos usar o método das diferenças divididas (forma de Newton), que é uma receita sistemática pra achar um polinômio que passa por 4 pontos escolhidos.

Passo 2

Como queremos estimar em x=3,25, faz sentido pegar quatro pontos “ao redor” desse valor. Vou escolher
(x0,v0)=(2,5,50), (x1,v1)=(3,0,62), (x2,v2)=(3,5,66), (x3,v3)=(4,0,60),
porque eles ficam simetricamente em volta de 3,25 (distâncias de 0,75 e 0,25).

Passo 3

Agora construímos a tabela de diferenças divididas.
  1. Diferenças de primeira ordem: f[x1,x0]=62-503-2.5=24, f[x2,x1]=66-623.5-3=8, f[x3,x2]=60-664-3.5=-12
  2. Diferenças de segunda ordem:$$f[x_2,x_1,x_0]=\frac{8-24}{3.5-2.5}=-16,\quadf[x_3,x_2,x_1]=\frac{-12-8}{4-3}=-20. f[x2,x1,x0]=8-243.5-2.5=-16, f[x3,x2,x1]=-12-84-3=-20çf[x_3,x_2,x_1,x_0]=\frac{-20-(-16)}{4-2.5}=\frac{-4}{1.5}=-\tfrac{8}{3}.$$

Passo 4

O polinômio em forma de Newton é
p(x)=v0 +f[x1,x0],(x-x0) +f[x2,x1,x0],(x-x0)(x-x1) +f[x3,x2,x1,x0],(x-x0)(x-x1)(x-x2)
Substituindo os valores:
p(x)=50 +24,(x-2.5) -16,(x-2.5)(x-3) -83,(x-2.5)(x-3)(x-3.5)

Passo 5

Agora é só colocar x=3.25:
  1. 24,(3.25-2.5)=24cdot0.75=18
  2. -16,(0.75)(0.25)=-3
  3. -tfrac83,(0.75)(0.25)(-0.25)=+;0.125
    Somando tudo:
p(3.25)=50+18-3+0.125=65.125

Resposta

O polinômio interpolador de grau 3 fica
p(x)=50 +24,(x-2.5) -16,(x-2.5)(x-3) -83,(x-2.5)(x-3)(x-3.5),
e a previsão da velocidade em 3,25,km é
p(3.25)approx65,125;km/h

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