Para cada uma das funções a seguir, encontre um polinômio interpolador para os dados indicados.
para
e
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos achar um polinômio de grau (no máximo) 2 que “encaixe” nos pontos
!x₀=1,;x₁=2,;x₂=3
para a função
!f(x)=\sin\bigl(x²−8x\bigr).
Conteúdo: interpolação polinomial (fórmula de Lagrange).
O que vamos precisar:
!x₀=1,;x₁=2,;x₂=3
para a função
!f(x)=\sin\bigl(x²−8x\bigr).
Conteúdo: interpolação polinomial (fórmula de Lagrange).
O que vamos precisar:
- Calcular f(1), f(2), f(3).
- Montar os polinômios-base de Lagrange L₀(x),L₁(x),L₂(x).
- Formar p(x)=∑ f(xᵢ)·Lᵢ(x).
Passo 2
Calcular os valores de f nos nós:
f(1)=sin(1²−8·1)=sin(−7)
f(2)=sin(2²−8·2)=sin(−12)
f(3)=sin(3²−8·3)=sin(−15)
f(1)=sin(1²−8·1)=sin(−7)
f(2)=sin(2²−8·2)=sin(−12)
f(3)=sin(3²−8·3)=sin(−15)
Não precisamos de aproximações numéricas, vamos deixar em função de sin(−7), sin(−12), sin(−15).
Passo 3
Definição dos polinômios-base de Lagrange para grau 2:
L₀(x)=\frac{(x−x₁)(x−x₂)}{(x₀−x₁)(x₀−x₂)},
L₁(x)=\frac{(x−x₀)(x−x₂)}{(x₁−x₀)(x₁−x₂)},
L₂(x)=\frac{(x−x₀)(x−x₁)}{(x₂−x₀)(x₂−x₁)}.
L₀(x)=\frac{(x−x₁)(x−x₂)}{(x₀−x₁)(x₀−x₂)},
L₁(x)=\frac{(x−x₀)(x−x₂)}{(x₁−x₀)(x₁−x₂)},
L₂(x)=\frac{(x−x₀)(x−x₁)}{(x₂−x₀)(x₂−x₁)}.
Substituindo x₀=1, x₁=2, x₂=3:
L₀(x)=\frac{(x−2)(x−3)}{(1−2)(1−3)}=\frac{(x−2)(x−3)}{2},
L₁(x)=\frac{(x−1)(x−3)}{(2−1)(2−3)}=\frac{(x−1)(x−3)}{−1}=−(x−1)(x−3),
L₂(x)=\frac{(x−1)(x−2)}{(3−1)(3−2)}=\frac{(x−1)(x−2)}{2}.
L₀(x)=\frac{(x−2)(x−3)}{(1−2)(1−3)}=\frac{(x−2)(x−3)}{2},
L₁(x)=\frac{(x−1)(x−3)}{(2−1)(2−3)}=\frac{(x−1)(x−3)}{−1}=−(x−1)(x−3),
L₂(x)=\frac{(x−1)(x−2)}{(3−1)(3−2)}=\frac{(x−1)(x−2)}{2}.
Passo 4
Agora montamos o polinômio interpolador p(x):
p(x)=f(1)·L₀(x)+f(2)·L₁(x)+f(3)·L₂(x)
Em símbolos:
p(x)=f(1)·L₀(x)+f(2)·L₁(x)+f(3)·L₂(x)
Em símbolos: