Para cada uma das integrais abaixo, faça o que se pede:
\int_{0}^{5}\left(4 x^{3}+e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral definida
\int_{0}^{5}\bigl(4x^{3}+e^{x}\bigr)\,dx
Esse é um problema de cálculo de integrais definidas usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar encontrar uma antiderivada de 4x^{3}+e^{x} e depois avaliar essa antiderivada em x=5 e em x=0.

Passo 2

Primeiro, achamos as antiderivadas das parcelas separadamente. A antiderivada de 4x^{3} é x^{4} e a antiderivada de e^{x} é e^{x}. Assim, uma antiderivada F(x) de 4x^{3}+e^{x} é
F(x) = x^{4} + e^{x}

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
\int_{0}^{5}\bigl(4x^{3}+e^{x}\bigr)\,dx = F(5) - F(0)
onde F é a antiderivada encontrada no passo anterior.

Passo 4

Calculando os valores:
F(5) = 5^{4} + e^{5} = 625 + e^{5},
F(0) = 0^{4} + e^{0} = 1.
Logo,
\int_{0}^{5}\bigl(4x^{3}+e^{x}\bigr)\,dx = \bigl(625 + e^{5}\bigr) - 1 = 624 + e^{5}.

Resposta

624 + e^{5}

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