4^{\circ} - Determinar, com erro C<0,01, a raiz da equação f(x)=x . \log x-1 no intervalo [2 ; 3]. Usando o Método das Cordas.

Passo 1

O enunciado pede para achar a raiz de
f(x)=x\log_{10}x - 1
no intervalo [2,3] com erro absoluto menor que 0{,}01, usando o Método das Cordas (Regula Falsi). Vamos aplicar iterações até que a diferença entre duas aproximações sucessivas seja inferior a 0{,}01.

Passo 2

Definimos a=2, b=3 e calculamos
f(a)=2\log_{10}2 -1\approx 2\cdot 0{,}3010 -1 = -0{,}3980,
f(b)=3\log_{10}3 -1\approx 3\cdot 0{,}4771 -1 = 0{,}4313.
Como f(a)\times f(b)<0, há raiz em [2,3]. A fórmula da corda é
c = a - \frac{f(a)\,(b-a)}{f(b)-f(a)}.

Passo 3

Primeira iteração:
c_1 = 2 - \frac{-0{,}3980\,(3-2)}{0{,}4313 - (-0{,}3980)} =2 + \frac{0{,}3980}{0{,}8293}\approx 2{,}4800.
Calculamos
f(c_1)=2{,}4800\log_{10}(2{,}4800)-1\approx 2{,}4800\cdot0{,}3945 -1 = -0{,}0227.
Como f(c_1)<0, substituímos a\leftarrow c_1, mantendo b=3.

Passo 4

Segunda iteração:
c_2 = 2{,}4800 - \frac{-0{,}0227\,(3-2{,}4800)}{0{,}4313 - (-0{,}0227)} =2{,}4800 + \frac{0{,}0227\cdot0{,}5200}{0{,}4540}\approx 2{,}5060.
Calculamos
f(c_2)=2{,}5060\log_{10}(2{,}5060)-1\approx 0{,}0010>0.
Agora f(c_2)>0, então substituímos b\leftarrow c_2.

Passo 5

Terceira iteração para checar o critério de erro:
c_3 = 2{,}4800 - \frac{-0{,}0227\,(2{,}5060-2{,}4800)}{0{,}0010 - (-0{,}0227)} \approx 2{,}5049.
A diferença entre as duas últimas aproximações é
|c_3 - c_2| \approx |2{,}5049 - 2{,}5060| = 0{,}0011 < 0{,}01,
logo já atendemos ao erro exigido.

Resposta

A raiz aproximada, com erro menor que 0{,}01, é
x \approx 2{,}505.

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