2^{\circ}- Resolva o sistema linear: \left\{\begin{array}{c}3 x+2 y-z=8 \\\\ 2 x-4 y+2 z=-4 \\\\ -x+y+5 z=3\end{array}\right.
Pelo Método de Gauss-Jacobi com
\left[\begin{array}{l} x^{0} \\\ y^{0} \\\ z^{0} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 1 \\\\ 1,5 \\\\ 0 \end{array}\right] \text { e } \in<0,2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 3x + 2y - z = 8,\\\\ 2x - 4y + 2z = -4,\\\\ -\,x + y + 5z = 3 \end{cases}
pelo método de Gauss–Jacobi, com vetor inicial
\begin{pmatrix}x^0\y^0\z^0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 1{,}5\\\ 0\end{pmatrix}
e critério de parada \epsilon<0{,}2.

Passo 2

Isolamos cada incógnita em sua equação para obter a forma iterativa de Jacobi:
x^{k+1}=\frac{1}{3}\bigl(8-2y^k+z^k\bigr),\quad y^{k+1}=\frac{1}{-4}\bigl(-4-2x^k-2z^k\bigr) =\frac{1}{4}\bigl(4+2x^k-2z^k\bigr),\quad z^{k+1}=\frac{1}{5}\bigl(3+x^k-y^k\bigr).

Passo 3

Aplicamos a primeira iteração k=0 usando (x^0,y^0,z^0)=(1,1{,}5,0):
x^1=\frac{1}{3}(8-2\cdot1{,}5+0)=\frac{5}{3}\approx1{,}6667,
y^1=\frac{1}{4}(4+2\cdot1-2\cdot0)=\frac{6}{4}=1{,}5,
z^1=\frac{1}{5}(3+1-1{,}5)=\frac{2{,}5}{5}=0{,}5.

Passo 4

Fazemos a segunda iteração k=1:
x^2=\frac{1}{3}\bigl(8-2\cdot1{,}5+0{,}5\bigr) =\frac{5{,}5}{3}\approx1{,}8333,
y^2=\frac{1}{4}\bigl(4+2\cdot1{,}6667-2\cdot0{,}5\bigr) =\frac{6{,}3334}{4}\approx1{,}5833,
z^2=\frac{1}{5}\bigl(3+1{,}6667-1{,}5\bigr) =\frac{3{,}1667}{5}\approx0{,}6333.
Agora avaliamos as diferenças:
|x^2-x^1|\approx0{,}1666<0{,}2,\quad |y^2-y^1|\approx0{,}0833<0{,}2,\quad |z^2-z^1|\approx0{,}1333<0{,}2.
Como todas as diferenças são menores que \epsilon=0{,}2, podemos parar.

Resposta

A solução aproximada pelo método de Gauss–Jacobi com \epsilon<0{,}2 é
x\approx1{,}8333,\quad y\approx1{,}5833,\quad z\approx0{,}6333.

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