Para cada inteiro positivo n, seja a_{n}=2^{2 n+1}-2^{n+1}+1. Determine todos os valores de n para os quais a_{n} é divisível por 5 .

Passo 1

O enunciado define, para cada inteiro positivo n, a sequência
a_{n} = 2^{2n+1} - 2^{n+1} + 1
e pede todos os n tais que 5 divide a_{n}. Vamos usar aritmética modular e o fato de que
2^{4} \equiv 1 \pmod{5},
logo as potências de 2 módulo 5 se repetem a cada 4 expoentes.

Passo 2

Queremos
a_{n} \equiv 0 \pmod{5},
ou seja
2^{2n+1} - 2^{n+1} + 1 \equiv 0 \pmod{5}.
Como 2^{4}\equiv1\pmod5, basta reduzir todos os expoentes módulo 4.

Passo 3

Escrevamos n = 4k + r com r\in\{0,1,2,3\}. Então
n+1 \equiv r+1 \pmod{4}, \quad 2n+1 = 2(4k+r)+1 = 8k + (2r+1)\equiv 2r+1 \pmod{4}.
Logo
2^{n+1}\equiv 2^{r+1}\pmod{5}, \quad 2^{2n+1}\equiv 2^{2r+1}\pmod{5}.

Passo 4

Para cada r em \{0,1,2,3\} calculamos
2^{r+1}\bmod5,\quad 2^{2r+1}\bmod5
e então
a_{n}\bmod5 = 2^{2r+1} - 2^{r+1} + 1 \pmod{5}.
Tabela resumida:
r =0: 2^{r+1}=2^1=2,\;2^{2r+1}=2^1=2,\;a_n\equiv2-2+1=1
r =1: 2^{r+1}=2^2=4,\;2^{2r+1}=2^3=8\equiv3,\;a_n\equiv3-4+1=0
r =2: 2^{r+1}=2^3=8\equiv3,\;2^{2r+1}=2^5=32\equiv2,\;a_n\equiv2-3+1=0
r =3: 2^{r+1}=2^4=16\equiv1,\;2^{2r+1}=2^7=128\equiv3,\;a_n\equiv3-1+1=3 Observamos que a_{n}\equiv0\pmod5 somente quando r=1 ou r=2.

Passo 5

Concluímos que 5\mid a_{n} se, e somente se,
n \equiv 1 \pmod{4} \quad\text{ou}\quad n \equiv 2 \pmod{4}.

Resposta

Todos os inteiros positivos n tais que
n \equiv 1 \pmod{4} \quad\text{ou}\quad n \equiv 2 \pmod{4}.

Exercícios relacionados