Prove que se a, b e c são inteiros tais que a^{3}+b^{3}+c^{3} é divisível por 9, então no mínimo um dos três números é divisível por 3.
Passo 1
O enunciado quer provar a seguinte afirmação em aritmética de inteiros:
“Se a,b,c são inteiros tais que
a^{3}+b^{3}+c^{3}
é divisível por 9, então pelo menos um entre a,b,c é divisível por 3.”
O conteúdo principal usado será aritmética modular (resíduos módulo 3 e 9) e o princípio do argumento por contraposição.
Passo 2
Vamos estudar o valor de n^{3} módulo 9 conforme o resíduo de n módulo 3. Seja n um inteiro. Pelos resíduos modulo 3, existem três casos:
Nenhum desses valores é congruente a 0 módulo 9. Logo, sob a hipótese de que nenhum de a,b,c é múltiplo de 3, a soma a^{3}+b^{3}+c^{3} não pode ser divisível por 9.
Passo 5
Concluímos, via contraposição, que se a^{3}+b^{3}+c^{3} é divisível por 9, não é possível que todos os três deixem resto \pm1 módulo 9. Logo, pelo menos um deles deve satisfazer n^{3}\equiv0\pmod{9}, isto é, ser múltiplo de 3.
Resposta
A prova está concluída: se a^{3}+b^{3}+c^{3} é divisível por 9, então pelo menos um dos inteiros a,b,c é múltiplo de 3.