Prove que se a, b e c são inteiros tais que a^{3}+b^{3}+c^{3} é divisível por 9, então no mínimo um dos três números é divisível por 3.

Passo 1

O enunciado quer provar a seguinte afirmação em aritmética de inteiros:
“Se a,b,c são inteiros tais que
a^{3}+b^{3}+c^{3}
é divisível por 9, então pelo menos um entre a,b,c é divisível por 3.”
O conteúdo principal usado será aritmética modular (resíduos módulo 3 e 9) e o princípio do argumento por contraposição.

Passo 2

Vamos estudar o valor de n^{3} módulo 9 conforme o resíduo de n módulo 3. Seja n um inteiro. Pelos resíduos modulo 3, existem três casos:
  1. Se n=3k então
n^{3}=(3k)^{3}=27k^{3}=9\bigl(3k^{3}\bigr),
logo n^{3}\equiv 0\pmod{9}. 2. Se n=3k+1 então
n^{3}=(3k+1)^{3} =27k^{3}+27k^{2}+9k+1 =9\bigl(3k^{3}+3k^{2}+k\bigr)+1,
logo n^{3}\equiv 1\pmod{9}. 3. Se n=3k+2 então
n^{3}=(3k+2)^{3} =27k^{3}+54k^{2}+36k+8 =9\bigl(3k^{3}+6k^{2}+4k\bigr)+8,
e como 8\equiv -1\pmod{9}, obtemos n^{3}\equiv -1\pmod{9}. Portanto, para todo inteiro n,
n^{3}\equiv \begin{cases} 0\pmod{9},&\text{se }3\mid n,\\\\ 1\pmod{9},&\text{se }n\equiv1\pmod{3},\\\\ -1\pmod{9},&\text{se }n\equiv2\pmod{3}. \end{cases}

Passo 3

Suponha, por contraposição, que nenhum dos três a,b,c seja múltiplo de 3. Então cada um satisfaz
a^{3},\,b^{3},\,c^{3}\equiv \pm1\pmod{9}.
Isto é, cada cubo vale ou 1 ou -1 módulo 9.

Passo 4

Agora analisamos todas as somas possíveis de três termos cada um valendo \pm1 módulo 9. As combinações e seus somatórios são:
1+1+1=3,\quad 1+1-1=1,\quad 1-1-1=-1\equiv8,\quad -1-1-1=-3\equiv6 \pmod{9}.
Nenhum desses valores é congruente a 0 módulo 9. Logo, sob a hipótese de que nenhum de a,b,c é múltiplo de 3, a soma a^{3}+b^{3}+c^{3} não pode ser divisível por 9.

Passo 5

Concluímos, via contraposição, que se a^{3}+b^{3}+c^{3} é divisível por 9, não é possível que todos os três deixem resto \pm1 módulo 9. Logo, pelo menos um deles deve satisfazer n^{3}\equiv0\pmod{9}, isto é, ser múltiplo de 3.

Resposta

A prova está concluída: se a^{3}+b^{3}+c^{3} é divisível por 9, então pelo menos um dos inteiros a,b,c é múltiplo de 3.

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