Prove que se p e 8 p^{2}+1 são primos, então 8 p^{2}-1 também é primo.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se p é primo e
8p^{2}+1
também é primo, então
8p^{2}-1
é primo.
Conteúdo: divisibilidade e aritmética modular para restringir p, seguido de cálculo direto para verificar primalidade de 8p^{2}-1.

Passo 2

Mostramos que a única possibilidade é p=3.
Se p\neq3 é primo, então p\equiv\pm1\pmod{3}, logo
p^{2}\equiv1\pmod{3} \quad\Longrightarrow\quad 8p^{2}+1\equiv8\cdot1+1\equiv9\equiv0\pmod{3}.
Como 8p^{2}+1>3, isso implica que 8p^{2}+1 é divisível por 3 e maior que 3, portanto não pode ser primo. Assim, a hipótese “ 8p^{2}+1 é primo” obriga p=3.

Passo 3

Substituindo p=3, calculamos
8p^{2}-1 = 8\cdot3^{2}-1 = 8\cdot9 -1 = 72 -1 = 71.
Para ver que 71 é primo, basta notar que não é divisível por 2,3,5 nem por 7 (os primos \le\sqrt{71}\approx8,4). Logo 71 é primo.

Resposta

Portanto, 8p^{2}-1=71 é primo.

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