Prove que as expressões
2 x+3 y, \quad 9 x+5 y
são divisíveis por 17 para o mesmo conjunto de valores inteiros x e $y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para x,y\in\mathbb{Z}, vale simultaneamente
17\mid(2x+3y) \quad\Longleftrightarrow\quad 17\mid(9x+5y).
O método será usar congruências módulo 17 e o fato de que, em \mathbb{Z}/17\mathbb{Z}, certos inteiros são invertíveis.

Passo 2

Suponha que
17\mid(2x+3y),
isto é,
2x+3y\equiv0\pmod{17}.
Multiplicando essa congruência por 8, obtemos
8\cdot(2x+3y)=16x+24y\equiv -x+7y\equiv0\pmod{17}.
Logo
x\equiv7y\pmod{17}.

Passo 3

Com x\equiv7y\pmod{17} em mãos, calcule
9x+5y\equiv9\cdot(7y)+5y=63y+5y=68y\equiv0\pmod{17},
pois 68=4\cdot17. Portanto 17\mid(9x+5y).

Passo 4

Agora suponha a recíproca:
17\mid(9x+5y),
ou seja
9x+5y\equiv0\pmod{17}.
Multiplique essa congruência por 2:
2\cdot(9x+5y)=18x+10y\equiv x+10y\equiv0\pmod{17}.
Como 10\equiv -7\pmod{17}, segue
x-7y\equiv0\pmod{17} \quad\Longrightarrow\quad x\equiv7y\pmod{17}.

Passo 5

Finalmente, com x\equiv7y\pmod{17}, verifica-se
2x+3y\equiv2\cdot(7y)+3y=14y+3y=17y\equiv0\pmod{17},
logo 17\mid(2x+3y).

Resposta

Concluímos que
17\mid(2x+3y) \quad\Longleftrightarrow\quad 17\mid(9x+5y),
isto é, as duas expressões são divisíveis por 17 para exatamente o mesmo conjunto de inteiros x,y.

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