Em cada item use o método de diferenças finitas de segunda ordem (O(h^2)) para aproximar a solução do problema de valor de contorno.
l y^prime prime(x)=4 cdot(y(x)-x), 0
com h=1 / 4.

Passo 1

Beleza, a gente tem um problema de valor de contorno
y''(x)=4,(y(x)-x),&0
e vai usar o método de diferenças finitas de segunda ordem (erro ) com passo .
O que precisamos saber:
  1. como aproximar por ;
  2. montar um sistema linear para os nós internos ;
  3. resolver esse sistema e ter os valores aproximados .

Passo 2

Primeiro, definimos os nós:
xi = i,h, i=0,1,2,3,4, h=tfrac14
Nos pontos internos y''(xi)approxyi+1-2yi+yi-1h^2, , usamos
yi+1-2yi+yi-1h^2=4l(yi - xir)
e pela EDO temos
yi+1-2yi+yi-1=4cdot116,(yi - xi) =14,(yi - xi)
Como yi-1-2yi+yi+1-tfrac14,yi + tfrac14,xi=0 Longrightarrow yi-1+yi+1-2.25,yi=-0.25,xi , isso vira
Reorganizando:

Passo 3

Agora escrevemos pros três nós internos, lembrando que y0 + y2 -2.25,y1 = -0.25cdot0.25 Longrightarrow 0 + y2 -2.25,y1 = -0.0625 e y1 + y3 -2.25,y2 = -0.25cdot0.5 Longrightarrow y1 + y3 -2.25,y2 = -0.125 :
  1. Para y2 + y4 -2.25,y3 = -0.25cdot0.75 Longrightarrow y2 + 2 -2.25,y3 = -0.1875 Longrightarrow y2 -2.25,y3 = -2.1875 , 2.25 & -1 & 0 -1 & 2.25 & -1 0 & -1 & 2.25 y1y2y3 = 0.06250.1252.1875 :
  1. Para , :
  1. Para , :

Em forma matricial:
[

.
]

Passo 4

Vamos resolver por eliminação de Gauss (resumido):
  1. Da primeira linha:
    y2 approx 0.82653, y3 approx 1.33935
    y1 =y2+0.06252.25approx 0.82653+0.06252.25approx0.39512
  2. Substituindo em

    e em

    a gente acaba achando (depois de simplificar) um sistema para só .
    Resolvendo, dá
  1. E então

Resposta

As aproximações nos nós internos são
boxed y(0.25)approx0.3951, y(0.50)approx0.8265, y(0.75)approx1.3393
e, claro, , .

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