Em cada item use o método de diferenças finitas de segunda ordem
para aproximar a solução do problema de valor de contorno.
com
.
Passo 1
Beleza, a gente tem um problema de valor de contorno
e vai usar o método de diferenças finitas de segunda ordem (erro
) com passo
.
O que precisamos saber:
O que precisamos saber:
- como aproximar
por ; - montar um sistema linear para os nós internos
; - resolver esse sistema e ter os valores aproximados
.
Passo 2
Primeiro, definimos os nós:
Nos pontos internos
, usamos
e pela EDO temos
Como
, isso vira
Reorganizando:
Passo 3
Agora escrevemos pros três nós internos, lembrando que
e
:
- Para
, :
- Para
, :
- Para
, :
Em forma matricial:
[
]
Passo 4
Vamos resolver por eliminação de Gauss (resumido):
-
Da primeira linha:
y2 approx 0.82653, y3 approx 1.33935
y1 =y2+0.06252.25approx 0.82653+0.06252.25approx0.39512 -
Substituindo em
e em
a gente acaba achando (depois de simplificar) um sistema para só .
Resolvendo, dá
- E então
Resposta
As aproximações nos nós internos são
e, claro,
,
.