Considere a função f(x)=cos x-x10-x^2. Obtenha uma função iteração xn+1=g(xn) que convirja pelo MPF. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, temos a função
f(x)=\cos x-\frac{x}{10-x^2}
e queremos montar um “esquema” de ponto-fixo
x_{n+1}=g(x_n)
que, quando iterado, nos leve à solução de
f(x)=0
(esse é o Método do Ponto Fixo, MPF).
O que vamos precisar:
  1. Entender que qualquer rearranjo de
    f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=g(x)
    
    pode ser usado;
  2. Verificar a condição de convergência do MPF, que é
    |g'(x)|<1
    
    num intervalo em torno da raiz.

Passo 2

Primeiro, uma forma bem prática de gerar uma iteração que converge é usar
g(x)=x+\lambda\,f(x),
isto é, “empurrar” o chute pela própria função. Aqui a constante lambda é um peso que vamos ajustar. Essa ideia vem do Teorema do Ponto Fixo: se escolhermos lambda de modo que
|g'(x)|=|1+\lambda\,f'(x)|<1
na vizinhança da raiz, a iteração converge.

Passo 3

Vamos calcular f'(x) para depois montar g'(x).
f(x)=\cos x-\frac{x}{10-x^2}\quad\Longrightarrow\quad
f'(x)=-\sin x-\frac{(10-x^2)-x(-2x)}{(10-x^2)^2}
     =-\sin x-\frac{10+x^2}{(10-x^2)^2}.
Então,
g'(x)=1+\lambda\,f'(x)
      =1+\lambda\Bigl(-\sin x-\frac{10+x^2}{(10-x^2)^2}\Bigr).

Passo 4

Agora escolhemos lambda. Para garantir |g'(x)|<1 perto da raiz (que, numericamente, está perto de xapprox1.4), basta notar que em xapprox1.4
f'(1.4)\approx -1.17
(é negativo). Se a gente toma, por exemplo,
\lambda=1,
então
g'(x)=1+f'(x)\quad\Longrightarrow\quad
g'(1.4)\approx1-1.17=-0.17
e |-0.17|<1, beleza! Logo, perto dessa raiz nossa escolha funciona.

Passo 5

Fica então a iteração
\boxed{g(x)=x+f(x)=x+\cos x-\frac{x}{10-x^2}.}
Ou seja, no algoritmo você faz
x_{n+1}=x_n+\cos x_n-\frac{x_n}{10-x_n^2}.

Resposta

A função de iteração que converge pelo MPF é
\displaystyle x_{n+1}
=\,x_n+\cos x_n-\frac{x_n}{10-x_n^2},
pois com essa escolha temos |g'(x)|<1 na região da raiz de f(x)=0,.

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