Para cada
mostrar que
;
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente provar que, para qualquer número natural
, vale a igualdade
Isso é um problema de somas de sequências (séries) do tipo “telescópicas”.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Decompor cada termo
em frações parciais. - Somar os termos e ver o “efeito telescópio” (cancelamento).
- Chegar no resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos quebrar
em duas frações simples. A ideia é escrever
e descobrir
e
. Multiplicando tudo por
, dá
Como isso vale para todo
, os coeficientes precisam bater:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Logoe .
Então
Passo 3
Agora escrevemos a soma original usando essa decomposição:
Vamos listar os primeiros termos pra ver o padrão:
Repara que cada
aparece uma vez com sinal “-” e outra vez com sinal “+”, mesmo com
,
, etc. Tudo isso cancela, restando só:
Passo 4
Depois dos cancelamentos (o chamado “efeito telescópio”), sobra
Pronto, chegamos exatamente na fórmula do enunciado.