Para cada n in N mostrar que
11 cdot 2+12 cdot 3+cdots+1n(n+1)=1-1n+1;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente provar que, para qualquer número natural 11cdot2 + 12cdot3 + cdots + 1n(n+1) ;=; 1 - 1n+1 , vale a igualdade
Isso é um problema de somas de sequências (séries) do tipo “telescópicas”.
O que vamos precisar:
  1. Decompor cada termo em frações parciais.
  2. Somar os termos e ver o “efeito telescópio” (cancelamento).
  3. Chegar no resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos quebrar 1k(k+1) ;=; Ak ;+; Bk+1 em duas frações simples. A ideia é escrever
1 ;=; A(k+1) + Bk ;=; Ak + A + Bk ;=; (A+B),k + A
e descobrir 1k(k+1) ;=; 1k ;-; 1k+1 e . Multiplicando tudo por , dá
Como isso vale para todo , os coeficientes precisam bater:
  • Coeficiente de : .
  • Termo constante: .
    Logo e .
    Então

Passo 3

Agora escrevemos a soma original usando essa decomposição:
sumk=1^n 1k(k+1) = sumk=1^n l(1k - 1k+1r)
Vamos listar os primeiros termos pra ver o padrão:
l(tfrac11 - tfrac12r) + l(tfrac12 - tfrac13r) + l(tfrac13 - tfrac14r) + cdots + l(tfrac1n - tfrac1n+1r)
Repara que cada aparece uma vez com sinal “-” e outra vez com sinal “+”, mesmo com , , etc. Tudo isso cancela, restando só:

Passo 4

Depois dos cancelamentos (o chamado “efeito telescópio”), sobra
tfrac11 ;-; 1,n+1, ;=; 1 ;-; 1n+1
Pronto, chegamos exatamente na fórmula do enunciado.

Resposta

11cdot2 + 12cdot3 + cdots + 1n(n+1) ;=; 1 ;-; 1n+1

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