Usando indução, vamos provar que em um conjunto com
frutas todas têm a mesma cor. Descubra onde está o erro nesta demonstração.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz assim: “Usando indução, vamos provar que em um conjunto com
frutas todas têm a mesma cor.” A gente precisa perceber qual é o conteúdo (Princípio da Indução Matemática) e o que vai ser necessário:
- Definir a propriedade
: “Em qualquer conjunto de frutas, todas têm a mesma cor.” - Mostrar o caso base
. - Mostrar o passo indutivo: se
é verdade, então também é.
Depois disso, descobrir onde o raciocínio dá ruim.
Passo 2
Caso base (
):
diz “num conjunto de 1 fruta, todas têm a mesma cor”. Isso é trivial, porque só existe uma fruta ali — não tem como comparar, então OK:
é verdadeira.
Passo 3
Passo indutivo (ideia clássica):
- Suponha que para certo
valha : “todo conjunto de frutas tem todas as frutas da mesma cor”. - Agora pegue um conjunto
com frutas. Chamemos duas frutas de destaque de e .
Passo 4
Construa dois subconjuntos de tamanho
:
-
, tem frutas. -
, também tem frutas.
Pela hipótese de indução, em cada subconjunto tudo é da mesma cor.
Comoe têm frutas cada, eles se sobrepõem em frutas (isto é, tem frutas).
Aí o argumento diz: nessasfrutas comuns, tudo tem uma única cor, então essa cor “liga” a cor de (que vem de ) e a cor de (que vem de ). Conclusão: todas as frutas têm a mesma cor.
Passo 5
E onde está o pulo do gato (o erro)? O raciocínio só funciona se
, ou seja, se
. No primeiro passo indutivo (ir de
para
), temos:
-
e teriam 1 fruta cada, - Mas aí
é vazio (0 frutas), não há nenhum elemento comum para “garantir” a mesma cor.
Sem essa interseção não dá pra “ligar” a cor decom a de . O argumento assume que sempre existe essa fruta em comum, o que falha exatamente em .
Resposta
O erro está na suposição de que os dois subconjuntos de tamanho
(formados ao tirar cada fruta) sempre têm interseção não vazia. Isso não vale para
, então o passo indutivo falha ao passar de 1 para 2 frutas.