Para cada n in N mostrar que
1 cdot 2 cdot 3+2 cdot 3 cdot 4+cdots+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para provar que, para todo ninN,
1cdot2cdot3 ;+;2cdot3cdot4;+;cdots;+;n(n+1)(n+2);=;n(n+1)(n+2)(n+3)4
Conteúdo: vamos usar o princípio da indução matemática. Precisaremos entender como fazer o passo base e o passo indutivo, além de saber fatorar expressões simples.

Passo 2

Base da indução ( n=1).
Lado esquerdo: só tem o primeiro termo, 1cdot2cdot3 = 6.
Lado direito: 1cdot2cdot3cdot44 = 244 = 6.
Como os dois lados dão 6, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese indutiva.
Suponha que para um certo n>=1 valha
1cdot2cdot3 + cdots + n(n+1)(n+2) ;=;n(n+1)(n+2)(n+3)4

Passo 4

Passo indutivo (de n para n+1).
O que queremos é mostrar que
1cdot2cdot3 + cdots + n(n+1)(n+2) + (n+1)(n+2)(n+3) ;=;(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)4
Começamos com o lado esquerdo até n+1:
S(n+1)=underbrace1cdot2cdot3 + cdots + n(n+1)(n+2)=,n(n+1)(n+2)(n+3)4;(HI) ;+;(n+1)(n+2)(n+3)
Substituindo a hipótese indutiva:
S(n+1)=n(n+1)(n+2)(n+3)4 ;+;(n+1)(n+2)(n+3)
Agora fatoramos (n+1)(n+2)(n+3) em evidência:
S(n+1) = (n+1)(n+2)(n+3),l(n4+1r) = (n+1)(n+2)(n+3),n+44 = (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)4
Pronto! Esse é exatamente o formato que a gente queria para n+1.

Resposta

boxed1cdot2cdot3 + 2cdot3cdot4 + cdots + n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)4

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