Para cada
mostrar que
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo número natural
, vale a fórmula
O conteúdo principal aqui é prova por indução matemática. Para resolver, vamos precisar:
- Verificar o caso base (geralmente
). - Fazer a hipótese de indução (assumir que a fórmula vale para um certo
). - Mostrar que isso implica que a fórmula vale para
.
Passo 2
Antes de tudo, o que é prova por indução?
- A gente confirma que a propriedade vale para o primeiro caso, normalmente
. - Em seguida, supõe que a propriedade seja verdadeira para um
genérico (hipótese de indução). - Por fim, a partir dessa hipótese, a gente demonstra que a propriedade vale também para
.
Se tudo der certo, concluímos que a propriedade é verdadeira para todo.
Passo 3
Caso base (
):
À esquerda temos .
À direita, aplicando a fórmula, dá
À esquerda temos
À direita, aplicando a fórmula, dá
Logo, os dois lados coincidem e o caso
está ok.
Passo 4
Hipótese de indução:
Suponha que para algum valha
Suponha que para algum
Agora queremos mostrar que, sob essa hipótese, também vale
Passo 5
Cálculo do passo
:
Começamos com a soma até (que, pela hipótese, é
) e somamos o próximo termo
.
Começamos com a soma até
Agora a gente verifica que isso é igual a
Se expandirmos
, dá exatamente
que bate com o que a gente encontrou para
.
Resposta
Logo, por indução matemática, mostramos que para todo