Para cada n in N mostrar que
1^3+3^3+cdots+(2 n-1)^3=n^2(2 n^2-1);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo número natural 1^3+3^3+cdots+(2n-1)^3 ;=; n^2l(2n^2-1r) , vale a fórmula
O conteúdo principal aqui é prova por indução matemática. Para resolver, vamos precisar:
  1. Verificar o caso base (geralmente ).
  2. Fazer a hipótese de indução (assumir que a fórmula vale para um certo ).
  3. Mostrar que isso implica que a fórmula vale para .

Passo 2

Antes de tudo, o que é prova por indução?
  • A gente confirma que a propriedade vale para o primeiro caso, normalmente .
  • Em seguida, supõe que a propriedade seja verdadeira para um genérico (hipótese de indução).
  • Por fim, a partir dessa hipótese, a gente demonstra que a propriedade vale também para .
    Se tudo der certo, concluímos que a propriedade é verdadeira para todo .

Passo 3

Caso base ( n^2l(2n^2-1r) = 1^2l(2cdot1^2-1r) = 1cdot(2-1) = 1 ):
À esquerda temos .
À direita, aplicando a fórmula, dá
Logo, os dois lados coincidem e o caso está ok.

Passo 4

Hipótese de indução:
Suponha que para algum 1^3+3^3+cdots+(2n-1)^3 ;=; n^2l(2n^2-1r) valha
1^3+3^3+cdots+(2n-1)^3 + (2(n+1)-1)^3 ;=;(n+1)^2l(2(n+1)^2-1r)
Agora queremos mostrar que, sob essa hipótese, também vale

Passo 5

Cálculo do passo Sn+1 &= n^2l(2n^2-1r) + (2n+1)^3 &= n^2(2n^2-1) + l(8n^3+12n^2+6n+1r) &= 2n^4-n^2 + 8n^3+12n^2+6n+1 &= 2n^4+8n^3+11n^2+6n+1 :
Começamos com a soma até (n+1)^2l(2(n+1)^2-1r) = (n+1)^2l(2n^2+4n+1r) (que, pela hipótese, é (n^2+2n+1)(2n^2+4n+1) =2n^4+8n^3+11n^2+6n+1, ) e somamos o próximo termo .
Agora a gente verifica que isso é igual a
Se expandirmos , dá exatamente
que bate com o que a gente encontrou para .

Resposta

Logo, por indução matemática, mostramos que para todo 1^3+3^3+cdots+(2n-1)^3 ;=; n^2l(2n^2-1r)

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