Para cada n in N mostrar que
1+3+cdots+(2 n-1)=n^2;

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos provar, para todo ninN, que
1 + 3 + 5 + cdots + (2n - 1) ;=; n^2
Conteúdo da matéria: prova por indução matemática e somatório de termos ímpares.
O que vamos precisar:
- Entender o princípio da indução (base e passo indutivo).
- Mostrar a base (caso n=1).
- Fazer a hipótese de indução e o passo indutivo (de n para n+1).

Passo 2

Explicando indução de boa: a ideia é assim—você prova primeiro que a afirmação é verdadeira para o menor valor (a base) e depois mostra que, se ela vale para um certo n, então vale para n+1. Com essas duas etapas feitas, a “corrente” garante que vale para todo n.

Passo 3

Base da indução ( n=1):
Lado esquerdo: 1 + 3 + cdots + (2cdot1 - 1) = 1.
Lado direito: 1^2 = 1.
Como 1 = 1, a afirmação é verdadeira para n=1.

Passo 4

Passo indutivo: suponha que para um certo n>=1 já valha
1 + 3 + cdots + (2n - 1) = n^2(hipótese de indução)óçã
A gente quer mostrar que vale para n+1, ou seja:
1 + 3 + cdots + (2n - 1) + (2(n+1)-1) stackrel?= (n+1)^2
Usando a hipótese de indução, o somatório até (2n-1) é n^2, então
n^2 + l(2(n+1)-1r) = n^2 + (2n+2 -1) = n^2 + 2n +1 = (n+1)^2
Pronto, fechou certinho.

Resposta

Pela indução matemática concluímos que, para todo ninN,
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