Para cada
mostrar que
;
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos provar, para todo
, que
Conteúdo da matéria: prova por indução matemática e somatório de termos ímpares.
O que vamos precisar:
- Entender o princípio da indução (base e passo indutivo).
- Mostrar a base (caso
- Fazer a hipótese de indução e o passo indutivo (de
Passo 2
Explicando indução de boa: a ideia é assim—você prova primeiro que a afirmação é verdadeira para o menor valor (a base) e depois mostra que, se ela vale para um certo
, então vale para
. Com essas duas etapas feitas, a “corrente” garante que vale para todo
.
Passo 3
Base da indução (
):
Lado esquerdo: .
Lado direito: .
Como , a afirmação é verdadeira para
.
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como
Passo 4
Passo indutivo: suponha que para um certo
já valha
A gente quer mostrar que vale para
Usando a hipótese de indução, o somatório até
é
, então
Pronto, fechou certinho.
Resposta
Pela indução matemática concluímos que, para todo
,
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