Para cada função abaixo, verifique se o Teorema de Bolzano garante a existência de raiz no intervalo indicado. Se garantir, determine se a raiz é única (justifique usando a derivada).
f(x)=e^{x}-3 x, [0,1]

Passo 1

Liste clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • Dada a função \,f(x)=e^{x}-3x\,.
  • Intervalo considerado: \,[0,1]\,.
  • Pergunta 1: O Teorema de Bolzano garante a existência de raiz de f em [0,1]?
  • Pergunta 2: Se o Teorema de Bolzano garantir existência, determinar se a raiz é única, justificando usando a derivada.

Passo 2

Relembrando (didaticamente) o que diz o Teorema de Bolzano e como aplicá‑lo.
  • Teorema de Bolzano (também chamado de Teorema do Valor Intermediário, em versão de sinais): se uma função f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (isto é, f(a)\cdot f(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
  • O passo prático na prova é:
    1. mostrar que f é contínua em [0,1];
    2. calcular f(0) e f(1);
    3. verificar se f(0)\cdot f(1)<0.

Passo 3

Aplicando o Teorema de Bolzano.
  • Continuidade: \,e^{x}\, é contínua em \mathbb{R} e \,3x\, é contínua em \mathbb{R}; a diferença de funções contínuas é contínua. Logo \,f(x)=e^{x}-3x\, é contínua em [0,1].
  • Valores nos extremos: f(0)=e^{0}-3\cdot 0=1,
f(1)=e^{1}-3=e-3.
Sabendo que e\approx 2{,}71828, temos f(0)=1>0 e f(1)=e-3\approx -0{,}2817<0.
  • Como f(0)\cdot f(1)<0, pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos um c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0. Ou seja, existe raiz em [0,1].

Passo 4

Preparação para estudar unicidade: relação entre derivada e monotonicidade (aula rápida).
  • Resultado usado: se f é diferenciável em (a,b) e f'(x)>0 para todo x\in(a,b), então f é estritamente crescente em (a,b). Se f'(x)<0 para todo x\in(a,b), então f é estritamente decrescente em (a,b).
  • Justificativa rápida (intuição + MVT): pelo Teorema do Valor Médio, se x_1<x_2 então existe c\in(x_1,x_2) tal que \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'\text{(c)}.Se f'\text{(c)}<0 então f(x_2)-f(x_1)<0, ou seja f(x_2)<f(x_1): decresce. Esse argumento formaliza porque sinal da derivada controla monotonicidade.

Passo 5

Calcular a derivada de f e usar para concluir unicidade.
  • Derivada: f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}-3x\bigr)=e^{x}-3.
  • Em [0,1], e^{x} é crescente e e^{x}\le e^{1}=e<3. Portanto, para todo x\in[0,1] vale f'(x)=e^{x}-3<0.
  • Como f' é negativa em todo o intervalo aberto (0,1), pela observação anterior f é estritamente decrescente em [0,1].
  • Consequência para unicidade da raiz: se f é estritamente decrescente, ela só pode cruzar o eixo x uma única vez. Formalmente, se houvesse duas raízes distintas x_1<x_2 com f(x_1)=f(x_2)=0, isso contradizeria a estrita decrescida porque então teríamos f(x_2)<f(x_1), mas ambos são zero. Logo a raiz é única.

Passo 6

Resumo didático final e localização aproximada (pra ajudar no exame).
  • Conclusão: há pelo menos uma raiz em (0,1) (Bolzano) e ela é única (porque f'(x)<0 em [0,1]).
  • Localização prática: como f(0{,}5)=e^{0{,}5}-1{,}5\approx 1{,}6487-1{,}5=0{,}1487>0 e f(0{,}8)=e^{0{,}8}-2{,}4\approx 2{,}2255-2{,}4=-0{,}1745<0, a raiz única está em (0{,}5,0{,}8}). Isso não é pedido pelo enunciado, mas ajuda a ter noção de onde a raiz fica.

Resposta

Existe exatamente uma raiz em [0,1].

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