Para cada função abaixo, verifique se o Teorema de Bolzano garante a existência de raiz no intervalo indicado. Se garantir, determine se a raiz é única (justifique usando a derivada).
Passo 1
Liste clara do que o enunciado dá e do que pede.
- Dada a função
. - Intervalo considerado:
. - Pergunta 1: O Teorema de Bolzano garante a existência de raiz de
em ? - Pergunta 2: Se o Teorema de Bolzano garantir existência, determinar se a raiz é única, justificando usando a derivada.
Passo 2
Relembrando (didaticamente) o que diz o Teorema de Bolzano e como aplicá‑lo.
- Teorema de Bolzano (também chamado de Teorema do Valor Intermediário, em versão de sinais): se uma função
é contínua em e e têm sinais opostos (isto é, ), então existe pelo menos um tal que . - O passo prático na prova é:
- mostrar que
é contínua em ; - calcular
e ; - verificar se
.
- mostrar que
Passo 3
Aplicando o Teorema de Bolzano.
- Continuidade:
é contínua em e é contínua em ; a diferença de funções contínuas é contínua. Logo é contínua em . - Valores nos extremos:
Sabendo que
, temos
e
.
- Como
, pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos um tal que . Ou seja, existe raiz em .
Passo 4
Preparação para estudar unicidade: relação entre derivada e monotonicidade (aula rápida).
- Resultado usado: se
é diferenciável em e para todo , então é estritamente crescente em . Se para todo , então é estritamente decrescente em . - Justificativa rápida (intuição + MVT): pelo Teorema do Valor Médio, se
então existe tal que Se então , ou seja : decresce. Esse argumento formaliza porque sinal da derivada controla monotonicidade.
Passo 5
Calcular a derivada de
e usar para concluir unicidade.
- Derivada:
- Em
, é crescente e . Portanto, para todo vale - Como
é negativa em todo o intervalo aberto , pela observação anterior é estritamente decrescente em . - Consequência para unicidade da raiz: se
é estritamente decrescente, ela só pode cruzar o eixo uma única vez. Formalmente, se houvesse duas raízes distintas com , isso contradizeria a estrita decrescida porque então teríamos , mas ambos são zero. Logo a raiz é única.
Passo 6
Resumo didático final e localização aproximada (pra ajudar no exame).
- Conclusão: há pelo menos uma raiz em
(Bolzano) e ela é única (porque em ). - Localização prática: como
e , a raiz única está em . Isso não é pedido pelo enunciado, mas ajuda a ter noção de onde a raiz fica.
Resposta
Existe exatamente uma raiz em
.