Para cada polinômio, calcule a Cota de Cauchy e determine um intervalo [-R, R] que contém todas as raízes reais. Em seguida, use uma tabela de sinais para localizar sub-intervalos de comprimento 1 contendo cada raiz.
p(x)=2 x^{3}-5 x^{2}-x+6

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular a Cota de Cauchy para o polinômio dado e, com isso, determinar um intervalo [-R,R] que contenha todas as raízes reais; (2) usar uma tabela de sinais para localizar sub-intervalos de comprimento 1 que contenham cada raiz real.
O polinômio fornecido é p(x)=2 x^{3}-5 x^{2}-x+6. Vou listar os coeficientes (peguei-os do enunciado): o coeficiente líder é a_{3}=2 e os demais são a_{2}=-5, a_{1}=-1, a_{0}=6.

Passo 2

Explicando a Cota de Cauchy de forma simples e prática: para um polinômio
a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0
com a_n\neq0, uma cota válida para o módulo de todas as raízes é dada por
R = 1 + \max_{0\le k\le n-1}\left|\frac{a_k}{a_n}\right|.
Aqui a_n é o coeficiente do termo de maior grau (o líder) e cada a_k é um coeficiente dos termos restantes. A interpretação prática: calcule \left|\dfrac{a_k}{a_n}\right| para todos os coeficientes não-líder, pegue o maior valor e some 1. Todo zero do polinômio satisfaz |x|\le R.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso polinômio (peguei os coeficientes do Passo 1). O coeficiente líder é a_3=2. Calculo as razões em valor absoluto:
\left|\frac{a_2}{a_3}\right|=\left|\frac{-5}{2}\right|=\frac{5}{2}=2{,}5, \quad \left|\frac{a_1}{a_3}\right|=\left|\frac{-1}{2}\right|=\frac{1}{2}=0{,}5, \quad \left|\frac{a_0}{a_3}\right|=\left|\frac{6}{2}\right|=3.
O máximo entre esses valores é 3. Portanto
R = 1 + 3 = 4.

Passo 4

Conclui-se que a Cota de Cauchy é R=4, logo todas as raízes reais satisfazem |x|\le4. Assim um intervalo que contém todas as raízes reais é
[-R,R]=[-4,4].

Passo 5

Agora a parte da tabela de sinais. Ideia prática (baseada no Teorema do Valor Intermediário): se p(a) e p(b) têm sinais opostos ( p(a)\cdot p(b)<0) então existe pelo menos uma raiz em (a,b). Além disso, se p(k)=0 para algum inteiro k, então k é uma raiz (está localizada exatamente naquele ponto). Vou avaliar p(x) em todos os inteiros entre -4 e 4 para construir a tabela de sinais e achar intervalos de comprimento 1 que contenham cada raiz.

Passo 6

Calculando p(x)=2x^{3}-5x^{2}-x+6 nos inteiros de -4 a 4. Faço as contas passo a passo (peguei os valores de x da variação indicada por [-4,4]):
  • Para x=-4:
p(-4)=2(-4)^3-5(-4)^2-(-4)+6=2(-64)-5(16)+4+6=-128-80+4+6=-198.
  • Para x=-3:
p(-3)=2(-27)-5(9)-(-3)+6=-54-45+3+6=-90.
  • Para x=-2:
p(-2)=2(-8)-5(4)-(-2)+6=-16-20+2+6=-28.
  • Para x=-1:
p(-1)=2(-1)-5(1)-(-1)+6=-2-5+1+6=0.
Aqui obtivemos exatamente 0: x=-1 é uma raiz exata.
  • Para x=0:
p(0)=6.
  • Para x=1:
p(1)=2-5-1+6=2.
  • Para x=2:
p(2)=2(8)-5(4)-2+6=16-20-2+6=0.
Aqui também p(2)=0: x=2 é outra raiz exata.
  • Para x=3:
p(3)=2(27)-5(9)-3+6=54-45-3+6=12.
  • Para x=4:
p(4)=2(64)-5(16)-4+6=128-80-4+6=50.

Passo 7

Montando a tabela de sinais (resumo das avaliações acima):
\begin{array}{c|rrrrrrrrr} x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\hline p(x) & -198 & -90 & -28 & 0 & 6 & 2 & 0 & 12 & 50 \end{array}
Da tabela vemos: sinais negativos para -4,-3,-2; zero em -1; positivos em 0,1; zero em 2; positivos em 3,4.

Passo 8

Localizando sub-intervalos de comprimento 1 que contenham cada raiz:
  • Há uma raiz em x=-1 (porque p(-1)=0). Um sub-intervalo de comprimento 1 que a contenha é, por exemplo, [-2,-1] (o ponto -1 é o extremo direito desse intervalo). Também poderia usar [-1,0]; ambas opções têm comprimento 1.
  • Há uma raiz em x=2 (porque p(2)=0). Um sub-intervalo de comprimento 1 que a contenha é [2,3] (ou [1,2], se preferir o extremo esquerdo).
  • Entre x=1 e x=2 houve mudança de sinal de p(1)=2 para p(2)=0, e sabemos que também existe uma raiz em x=\tfrac{3}{2}=1{,}5 (pode ser verificado ao fatorar; aqui pela tabela vemos que existe uma raiz em (1,2)). Um sub-intervalo de comprimento 1 que contenha essa raiz é [1,2].
Resumo prático: escolhas naturais de sub-intervalos de comprimento 1 que contêm as raízes são [-2,-1], [1,2] e [2,3].

Passo 9

Observação adicional (para fixar a ideia, opcional): se quiser confirmar as raízes exatas, pode-se fatorar p(x). Dividindo por x+1 (pois x=-1 é raiz) obtém-se o quociente 2x^{2}-7x+6, que fatoriza como (2x-3)(x-2). Assim as raízes são -1, \tfrac{3}{2} e 2, o que bate com a localização pelos intervalos acima — mas a exigência da questão era apenas localizar por tabela de sinais, não necessariamente encontrar as raízes exatas.

Resposta

Cota de Cauchy: R=4, intervalo contendo todas as raízes reais: [-4,4].
Sub-intervalos de comprimento 1 contendo cada raiz real: [-2,-1], [1,2], [2,3].

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