Para cada função abaixo, verifique se o Teorema de Bolzano garante a existência de raiz no intervalo indicado. Se garantir, determine se a raiz é única (justifique usando a derivada).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
no intervalo
:
- Verificar se o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário) garante a existência de raiz em
. - Se garantir, decidir se essa raiz é única e justificar a unicidade usando a derivada.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
.
Passo 2
Lembrando o que o Teorema de Bolzano exige: se uma função
é contínua em um intervalo fechado
e
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe pelo menos um
tal que
.
Antes de aplicar o teorema, preciso checar continuidade de
em
:
- A função
é contínua em todo . - A função
é contínua em todo . - A diferença de funções contínuas é contínua.
Portantoé contínua em .
Passo 3
Vou avaliar
nos extremos do intervalo (essas avaliações são números que peguei do enunciado:
e
):
Observação:
e
. Portanto
e
têm sinais opostos, isto é
.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Bolzano: como
é contínua em
e
e
têm sinais opostos, existe pelo menos um
tal que
Isto resolve a parte da existência da raiz.
Passo 5
Agora eu preciso verificar se a raiz (ou raízes) é(ão) única(s). Uma forma prática é estudar o sinal da derivada
no intervalo: se
for estritamente negativa (ou positiva) em todo o intervalo, então
é estritamente monotônica (decrescente ou crescente) e, portanto, não pode ter mais de uma raiz.
Calculemos a derivada de
:
Para
temos
, então
. Assim
para todo
. Em palavras:
é estritamente negativa em todo o intervalo, logo
é estritamente decrescente em
.
Passo 6
Conclusão sobre unicidade: uma função estritamente decrescente não pode assumir o mesmo valor em dois pontos distintos. Em particular, não pode ter duas raízes distintas (pois isso implicaria
com
, contradizendo estrita monotonicidade). Portanto a raiz que o Teorema de Bolzano garante é única.
Resposta
Sim — o Teorema de Bolzano garante a existência de raiz em
.
Sim — a raiz é única, pois para todo
, então
é estritamente decrescente.
Sim — a raiz é única, pois