Para cada função abaixo, verifique se o Teorema de Bolzano garante a existência de raiz no intervalo indicado. Se garantir, determine se a raiz é única (justifique usando a derivada).
f(x)=\cos x-x, [0, \pi / 2]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f no intervalo [0,\pi/2]:
  • Verificar se o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário) garante a existência de raiz em [0,\pi/2].
  • Se garantir, decidir se essa raiz é única e justificar a unicidade usando a derivada.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\cos x - x.
  • O intervalo considerado é [0,\pi/2].

Passo 2

Lembrando o que o Teorema de Bolzano exige: se uma função f é contínua em um intervalo fechado [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\,f(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Antes de aplicar o teorema, preciso checar continuidade de f em [0,\pi/2]:
  • A função \cos x é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função x é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A diferença de funções contínuas é contínua.
    Portanto f(x)=\cos x - x é contínua em [0,\pi/2].

Passo 3

Vou avaliar f nos extremos do intervalo (essas avaliações são números que peguei do enunciado: 0 e \pi/2):
f(0)=\cos 0 - 0 = 1.
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\pi}{2}=0-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}.
Observação: -\dfrac{\pi}{2}<0 e 1>0. Portanto f(0) e f(\pi/2) têm sinais opostos, isto é f(0)\,f(\pi/2)<0.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Bolzano: como f é contínua em [0,\pi/2] e f(0) e f(\pi/2) têm sinais opostos, existe pelo menos um c\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) tal que
f\text{(c)}=0.
Isto resolve a parte da existência da raiz.

Passo 5

Agora eu preciso verificar se a raiz (ou raízes) é(ão) única(s). Uma forma prática é estudar o sinal da derivada f' no intervalo: se f' for estritamente negativa (ou positiva) em todo o intervalo, então f é estritamente monotônica (decrescente ou crescente) e, portanto, não pode ter mais de uma raiz.
Calculemos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}(\cos x)-\frac{d}{dx}(x)=-\sin x - 1.
Para x\in[0,\pi/2] temos \sin x\ge 0, então \sin x + 1 \ge 1. Assim
f'(x) = -(\sin x + 1) \le -1 < 0
para todo x\in[0,\pi/2]. Em palavras: f'(x) é estritamente negativa em todo o intervalo, logo f é estritamente decrescente em [0,\pi/2].

Passo 6

Conclusão sobre unicidade: uma função estritamente decrescente não pode assumir o mesmo valor em dois pontos distintos. Em particular, não pode ter duas raízes distintas (pois isso implicaria f(a)=0=f(b) com a\ne b, contradizendo estrita monotonicidade). Portanto a raiz que o Teorema de Bolzano garante é única.

Resposta

Sim — o Teorema de Bolzano garante a existência de raiz em [0,\pi/2].
Sim — a raiz é única, pois f'(x)=-\sin x-1<0 para todo x\in[0,\pi/2], então f é estritamente decrescente.

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