Exercício 3 (Teórico) - Raízes Complexas Conjugadas

Seja p(x) \in \mathbb{R}[x] um polinômio com coeficientes reais.
(a) Prove que se z=a+b i ( b \neq 0 ) é raiz de p, então \bar{z}=a-b i também é raiz.
(b) Conclua que todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais possui pelo menos uma raiz real.
(c) Para p(x)=x^{4}+1, exiba as quatro raízes complexas e verifique que ocorrem em pares conjugados.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: p(x)\in\mathbb{R}[x] é um polinômio com coeficientes reais.
  • Perguntas:
    (a) Mostrar que se z=a+bi com b\neq0 é raiz de p, então \overline{z}=a-bi também é raiz.
    (b) Concluir que todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real.
    (c) Para p(x)=x^{4}+1, encontrar as quatro raízes complexas e verificar que aparecem em pares conjugados.

Passo 2

Noções básicas sobre conjugação complexa (mini-aula).
  • Definição: se z=a+bi com a,b\in\mathbb{R}, então \overline{z}=a-bi.
  • Propriedades úteis (e por que valem):
    1. \overline{u+v}=\overline{u}+\overline{v}. Raciocínio: escrevendo u=(u_1+u_2 i) e v=(v_1+v_2 i), a soma tem parte real u_1+v_1 e imaginária u_2+v_2; conjugando troca o sinal da parte imaginária, logo o conjugado da soma é a soma dos conjugados.
    2. \overline{u v}=\overline{u}\,\overline{v}. Raciocínio: multiplica-se em coordenadas e verifica-se que trocar o sinal das partes imaginárias antes ou depois dá o mesmo resultado.
    3. Por indução, \overline{u^{k}}=\overline{u}^{\,k} para todo inteiro k\ge0.
  • Consequência imediata: se a\in\mathbb{R} então \overline{a}=a (coeficientes reais permanecem iguais ao conjugá-los).

Passo 3

Prova da parte (a) — raiz conjugada.
  • Escrevemos o polinômio como
p(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k},
com a_{k}\in\mathbb{R} para todo k.
  • Tomando conjugado do valor p(z) para z\in\mathbb{C}, usando as propriedades da conjugação:
\overline{p(z)}=\overline{\sum_{k=0}^{n} a_{k} z^{k}}=\sum_{k=0}^{n} \overline{a_{k} z^{k}}=\sum_{k=0}^{n} \overline{a_{k}}\,\overline{z^{k}}.
  • Como a_{k}\in\mathbb{R} temos \overline{a_{k}}=a_{k} e, pela propriedade \overline{z^{k}}=\overline{z}^{\,k}, obtemos
\overline{p(z)}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}\,\overline{z}^{\,k}=p(\overline{z}).
  • Agora, se z é raiz então p(z)=0. Tomando conjugado:
0=\overline{0}=\overline{p(z)}=p(\overline{z}).
  • Conclusão: \overline{z} também é raiz. Isso prova (a). Foi só usar que os coeficientes são reais e as propriedades da conjugação.

Passo 4

Raciocínio para a parte (b) — por que todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real.
  • Ideia essencial: raízes não reais aparecem em pares conjugados (parte (a)). Portanto o número total de raízes não reais, contado com multiplicidade, é um número par.
  • Pelo Teorema Fundamental da Álgebra (ou pelo fato de que estamos considerando raízes no corpo \mathbb{C}), um polinômio de grau n tem exatamente n raízes no conjunto \mathbb{C}, contando multiplicidades.
  • Se n é ímpar, e se as raízes não reais vêm em pares, então não é possível que todas as n raízes sejam não reais (porque n não pode ser somado por pares para dar um número ímpar). Logo deve existir pelo menos uma raiz que não esteja em par — isto é, uma raiz real.
  • Portanto, todo polinômio com coeficientes reais e grau ímpar tem pelo menos uma raiz real. (Observação: a contagem usa multiplicidade; se houver raízes repetidas, a argumentação por paridade ainda vale porque cada raiz não real de multiplicidade m traz junto sua conjugada com a mesma multiplicidade.)

Passo 5

Preparação para (c): método para resolver x^{4}+1=0.
  • Queremos x^{4}=-1. É conveniente trabalhar em forma polar/exponencial complexa.
  • Lembrete rápido: em forma exponencial, -1 pode ser escrito como
-1=e^{i(\pi+2\pi m)}\quad\text{para }m\in\mathbb{Z},
pois \cos(\pi)=-1 e \sin(\pi)=0, e acrescentar múltiplos de 2\pi não muda o número complexo.
  • As soluções de z^{4}=-1 são as quatro raízes quárticas de -1:
z=e^{i\frac{\pi+2\pi m}{4}}\quad\text{para }m=0,1,2,3.

Passo 6

Cálculo explícito das quatro raízes (parte (c)).
  • Para m=0,1,2,3 as quatro soluções são
\begin{aligned} z_{0}&=e^{i\frac{\pi}{4}},\\[4pt] z_{1}&=e^{i\frac{3\pi}{4}},\\[4pt] z_{2}&=e^{i\frac{5\pi}{4}},\\[4pt] z_{3}&=e^{i\frac{7\pi}{4}}. \end{aligned}
  • Usando a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta e os valores conhecidos de cosseno e seno em ângulos múltiplos de \pi/4, obtemos formas cartesianas:
\begin{aligned} z_{0}&=\cos\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}+i\tfrac{\sqrt{2}}{2},\\[4pt] z_{1}&=\cos\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+i\tfrac{\sqrt{2}}{2},\\[4pt] z_{2}&=\cos\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)+i\sin\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\tfrac{\sqrt{2}}{2},\\[4pt] z_{3}&=\cos\left(\tfrac{7\pi}{4}\right)+i\sin\left(\tfrac{7\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\tfrac{\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}
  • Verificação rápida: cada z_{k}^{4}=e^{i(\pi+2\pi m)}=-1, então z_{k}^{4}+1=0, portanto são raízes válidas.
  • Observação sobre pares conjugados: \overline{z_{0}}=z_{3} e \overline{z_{1}}=z_{2}. Assim as quatro raízes aparecem em dois pares conjugados, como prometido.]

Resposta

(a) Se z=a+bi ( b\neq0) é raiz de p, então \overline{z}=a-bi também é raiz.
(b) Todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais possui pelo menos uma raiz real.
(c) As quatro raízes de x^{4}+1 são
\tfrac{\sqrt{2}}{2}+i\tfrac{\sqrt{2}}{2},\quad -\tfrac{\sqrt{2}}{2}+i\tfrac{\sqrt{2}}{2},\quad -\tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\tfrac{\sqrt{2}}{2},\quad \tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\tfrac{\sqrt{2}}{2},
que ocorrem em pares conjugados: \overline{\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}+i\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \overline{\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+i\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

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