Usando o método de Newton-Raphson calcule uma raiz negativa de f(x)=x^{3}-5 x^{2}+x+3 com erro \leq 10^{-4}.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
Pede: calcular uma raiz negativa de f(x)=x^{3}-5 x^{2}+x+3 com erro \leq 10^{-4}.
Informação que temos:
A função é f(x)=x^{3}-5 x^{2}+x+3.
A tolerância pedida: 10^{-4}.
Vamos usar o método de Newton–Raphson (iterativo).
Objetivo prático para a prova: dar um valor x tal que a diferença entre iterações consecutivas (critério que vou adotar) seja \leq 10^{-4}, o que garante que o erro na raiz é no máximo da ordem desse valor (explico isso adiante).
Passo 2
O método de Newton–Raphson (fórmula e explicação didática).
Fórmula iterativa: para uma função f diferenciável, a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
O que significa cada símbolo:
x_n é a aproximação atual da raiz.
x_{n+1} é a próxima aproximação obtida corrigindo x_n.
f'(x_n) é a derivada de f em x_n.
Ideia intuitiva: aproxima-se f por sua reta tangente em x_n e toma-se o zero dessa reta como nova aproximação.
Critério de parada aqui: paro quando |x_{n+1}-x_n|\le 10^{-4}. Isso é prático na prova e garante que a aproximação está dentro do erro pedido.
Observação sobre escolher x_0: é bom escolher x_0 perto da raiz; uma maneira simples é achar um intervalo onde f muda de sinal (teorema do valor intermediário).
Passo 3
Localizar um intervalo que contenha a raiz negativa e escolher x_0.
Calculo f(-1) e f(0) para ver se há mudança de sinal entre -1 e 0:
f(-1)=(-1)^3-5(-1)^2+(-1)+3=-1-5-1+3=-4,
f(0)=0-0+0+3=3.
Como f(-1)=-4<0 e f(0)=3>0, existe pelo menos uma raiz em (-1,0). Essa é a raiz negativa que o enunciado pede.
Escolho x_0=-\tfrac{1}{2} (valor simples dentro do intervalo e razoavelmente próximo da raiz). Isso facilita fazer as contas na prova.
Passo 4
Derivada da função e primeira iteração (detalhado e “mastigado”).
ainda não satisfeito o critério, mas estamos bem perto.
Passo 7
Quarta iteração e verificação do critério de parada (mostrar que agora a diferença cai abaixo de 10^{-4}).
Para x_{3} pequeno o valor de f(x_{3}) também é muito pequeno; usando avaliação direta (ou estimativa via desenvolvimento de Taylor em torno de x_{2}) encontra-se
Como |x_{4}-x_{3}|\le 10^{-4}, o critério de parada está satisfeito. A aproximação x_{4} tem erro menor que 10^{-4}.
Passo 8
Interpretação final e recomendação prática para a prova.
Podemos tomar como resposta a aproximação x\approx-0{,}64575128 (arredondada) — ela satisfaz a exigência de erro \le 10^{-4}.
Dica prática para a prova: faça as primeiras iterações usando frações exatas quando der (como fiz nos passos 5 e 6) — isso evita acúmulo de erro e facilita mostrar o trabalho. Pare quando |x_{n+1}-x_n|\le 10^{-4}.