Para cada uma das seguintes afirmações, argumente se é Verdadeiro ou Falso. Justifique!
(1) Se a matriz
é uma matriz
e todas as suas linhas são linearmente independentes, então o determinante de
é diferente de zero.
(1) Se a matriz
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma matriz
de tamanho
. Dizem que todas as linhas de
são linearmente independentes e querem saber se disso já decorre que
.
Conteúdo da matéria:
• Independência linear de vetores (aqui, linhas de matriz).
• Postulado de posto (rank) e relação com determinante.
• Critério de invertibilidade de matrizes quadradas.
O que vamos precisar:
– Entender o que significa “linhas linearmente independentes”.
– Saber que “posto máximo = ” implica “matriz invertível” e “determinante não zero”.
Conteúdo da matéria:
• Independência linear de vetores (aqui, linhas de matriz).
• Postulado de posto (rank) e relação com determinante.
• Critério de invertibilidade de matrizes quadradas.
O que vamos precisar:
– Entender o que significa “linhas linearmente independentes”.
– Saber que “posto máximo =
Passo 2
O que é independência linear de linhas?
Dizemos que as linhas de
são linearmente independentes se a única forma de combinar
Dizemos que as linhas
é tomando
.
Em linguagem de posto (rank), isso quer dizer que o posto de — o número máximo de linhas independentes — é exatamente
.
Em linguagem de posto (rank), isso quer dizer que o posto de
Passo 3
Conexão com determinante e invertibilidade:
Para toda matriz quadrada vale o teorema:
“ é invertível ⟺ posto de
=
⟺
.”
A razão é que, se , suas linhas (ou colunas) são dependentes e o posto cai abaixo de
. Se
, ela tem posto máximo (=
) e as linhas são independentes.
Para toda matriz quadrada
“
A razão é que, se
Passo 4
Aplicando aqui:
– Hipótese: todas as linhas de
são independentes.
– Logo o posto de é
.
– Pela equivalência acima, é invertível e, portanto,
.
– Hipótese: todas as
– Logo o posto de
– Pela equivalência acima,
Resposta
Verdadeiro. Como as linhas de
são independentes, o posto de
é
, o que implica
.