Para cada uma das seguintes afirmações, argumente se é Verdadeiro ou Falso. Justifique!
(1) Se a matriz B é uma matriz n times n e todas as suas linhas são linearmente independentes, então o determinante de B é diferente de zero.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma matriz de tamanho . Dizem que todas as linhas de são linearmente independentes e querem saber se disso já decorre que .
Conteúdo da matéria:
• Independência linear de vetores (aqui, linhas de matriz).
• Postulado de posto (rank) e relação com determinante.
• Critério de invertibilidade de matrizes quadradas.
O que vamos precisar:
– Entender o que significa “linhas linearmente independentes”.
– Saber que “posto máximo = ” implica “matriz invertível” e “determinante não zero”.

Passo 2

O que é independência linear de linhas?
Dizemos que as linhas alpha1,r1 + alpha2,r2 + cdots + alphan,rn = 0 de são linearmente independentes se a única forma de combinar
é tomando .
Em linguagem de posto (rank), isso quer dizer que o posto de — o número máximo de linhas independentes — é exatamente .

Passo 3

Conexão com determinante e invertibilidade:
Para toda matriz quadrada vale o teorema:
é invertível ⟺ posto de = .”
A razão é que, se , suas linhas (ou colunas) são dependentes e o posto cai abaixo de . Se , ela tem posto máximo (= ) e as linhas são independentes.

Passo 4

Aplicando aqui:
– Hipótese: todas as linhas de são independentes.
– Logo o posto de é .
– Pela equivalência acima, é invertível e, portanto, .

Resposta

Verdadeiro. Como as linhas de são independentes, o posto de é , o que implica .

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