Considere a forma quadrática:
(1) Escreva a forma quadrática em termos das novas variáveis
e
correspondentes aos autovalores.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão nos pede. Temos uma forma quadrática dada por $ Q(x, y, z) = 2xy - z^{2} $. Nosso objetivo é reescrever essa forma quadrática em termos de novas variáveis $ w_{1}, w_{2} $ e $ w_{3} $, que correspondem aos autovalores da matriz associada a essa forma quadrática. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar a forma quadrática em termos de matrizes, encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz e, finalmente, expressar a forma quadrática em termos das novas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a forma quadrática $ Q(x, y, z) $ como uma matriz simétrica. Uma forma quadrática de três variáveis pode ser escrita na forma matricial $ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $, onde $ \mathbf{x} =
$ e $ A $ é uma matriz simétrica $ 3 \times 3 $.
Para $ Q(x, y, z) = 2xy - z^{2} $, a matriz $ A $ será:
Isso porque o termo $ 2xy $ corresponde aos elementos fora da diagonal $ A_{12} $ e $ A_{21} $, que são ambos iguais a 1, e o termo $ -z^{2} $ corresponde ao elemento $ A_{33} = -1 $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz $ A $. Os autovalores são valores $ \lambda $ que satisfazem a equação característica:
onde $ I $ é a matriz identidade.
Vamos calcular o determinante:
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores $ \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 $.
Passo 4
Depois de encontrar os autovalores, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Os autovetores são vetores não nulos $ \mathbf{v} $ que satisfazem $ A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $.
Para cada $ \lambda $ encontrado, substituímos na equação acima e resolvemos o sistema para encontrar os componentes de $ \mathbf{v} $.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos construir a matriz de mudança de base $ P $, cujas colunas são os autovetores de $ A $. A matriz diagonal $ \Lambda $ terá os autovalores de $ A $ na diagonal principal.
A relação entre as variáveis antigas $ \mathbf{x} $ e as novas variáveis $ \mathbf{w} $ é dada por:
Substituindo na forma quadrática, temos:
Assim, a forma quadrática será diagonalizada em termos das novas variáveis $ w_{1}, w_{2}, w_{3} $.
Resposta
Após realizar os passos acima, a forma quadrática $ Q(x, y, z) = 2xy - z^{2} $ pode ser reescrita em termos das novas variáveis correspondentes aos autovalores da seguinte maneira:
onde $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} $ são os autovalores encontrados da matriz associada à forma quadrática original.