Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma forma quadrática:
E pede para diagonalizar a matriz associada a essa forma quadrática, ou seja, encontrar uma matriz $ A $ tal que $ A = P D P^{-1} $, onde $ D $ é uma matriz diagonal e $ P $ é uma matriz de mudança de base. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a matriz $ A $ que representa a forma quadrática $ Q(x, y, z) $. A forma geral de uma forma quadrática em três variáveis é:
Comparando com a nossa forma quadrática $ Q(x, y, z) = 2xy - z^{2} $, vemos que:
$ a = 0 $
$ b = 0 $
$ c = -1 $
$ d = 1 $
$ e = 0 $
$ f = 0 $
Então, a matriz $ A $ é:
Passo 3
Agora, para diagonalizar $ A $, precisamos encontrar seus autovalores e autovetores. Os autovalores são soluções da equação característica:
A
Onde $ I $ é a matriz identidade e $ \lambda $ representa os autovalores.
Passo 4
Vamos calcular o determinante $ \det(A - \lambda I) $: