Considere a forma quadrática:
Q(x, y, z)=2 x y-z^2
(1) Diagonalize a matriz A: A=P D P^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma forma quadrática:
Q(x, y, z) = 2xy - z^2
E pede para diagonalizar a matriz associada a essa forma quadrática, ou seja, encontrar uma matriz $ A $ tal que $ A = P D P^{-1} $, onde $ D $ é uma matriz diagonal e $ P $ é uma matriz de mudança de base. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a matriz $ A $ que representa a forma quadrática $ Q(x, y, z) $. A forma geral de uma forma quadrática em três variáveis é:
A
Comparando com a nossa forma quadrática $ Q(x, y, z) = 2xy - z^{2} $, vemos que:
  • $ a = 0 $
  • $ b = 0 $
  • $ c = -1 $
  • $ d = 1 $
  • $ e = 0 $
  • $ f = 0 $
Então, a matriz $ A $ é:
Q(x, y, z)

Passo 3

Agora, para diagonalizar $ A $, precisamos encontrar seus autovalores e autovetores. Os autovalores são soluções da equação característica:
A
Onde $ I $ é a matriz identidade e $ \lambda $ representa os autovalores.

Passo 4

Vamos calcular o determinante $ \det(A - \lambda I) $:
det(A - lambda I)
O determinante dessa matriz é:
A - lambda I = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & -1 - lambda
det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda)(-1 - lambda) - 1 cdot 1 cdot (-1 - lambda) = (lambda^2)(-1 - lambda) - (-1 - lambda)
= -lambda^2(1 + lambda) + (1 + lambda) = (1 + lambda)(- lambda^2 + 1)
Então, a equação característica é:
= (1 + lambda)(1 - lambda^2) = (1 + lambda)(1 - lambda)(1 + lambda) = (1 + lambda)^2(1 - lambda)
As soluções são $ \lambda = -1 $ (com multiplicidade 2) e $ \lambda = 1 $.

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.

Para $ \lambda = 1 $:
Resolvemos $ (A - I)\vec{v} = 0 $:
$$
lambda = 1
(A - I)v = 0

-1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0
-2v3 = 0 çãçõãé
\vec{v}_1 = v3 = 0
$$

Para $ \lambda = -1 $:
Resolvemos $ (A + I)\vec{v} = 0 $:
$$
-v1 + v2 = 0
v1 = v2

lambda = 1
v1 = 1 1 0 çõçããõçãã
\vec{v}_2 = lambda = -1 , \quad \vec{v}_3 = (A + I)v = 0
$$

Passo 6

Agora, formamos a matriz $ P $ com os autovetores como colunas:
P
E a matriz diagonal $ D $ com os autovalores na diagonal:
P = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1
Para confirmar que $ A = P D P^{-1} $, você pode calcular $ P D P^{-1} $ e verificar que resulta na matriz $ A $.

Resposta

A matriz diagonal $ D $ e a matriz de mudança de base $ P $ são dadas por:
D
Portanto, a diagonalização da matriz $ A $ é $ A = P D P^{-1} $.

Exercícios relacionados