Em cada um dos seguintes sistemas lineares abaixo, proceda da seguinte forma:
(i) aplique o critério das linhas (fazendo permutações de linhas, caso necessário). Caso o critério esteja satisfeito, utilize o método de Gauss-Jacobi para obter uma aproximação da solução;
(ii) se o critério das linhas não estiver satisfeito, aplique o critério de Sassenfeld (fazendo permutações, se necessário). Caso o critério esteja satisfeito, utilize o método de Gauss-Seidel para obter uma aproximação da solução;
Utilize o critério de parada com varepsilon=0,05.
[lll1 & 2 & 1 2 & 0 & 1 1 & 1 & 3][lx1 x2 x3]=[l8 5 1].

Passo 1

O enunciado dá o sistema
e pede que a gente tente primeiro o critério de linhas (dominância diagonal por linhas, permitindo permutações de linhas). Se não der, partimos para o critério de Sassenfeld (também com permutações) e então usamos Gauss–Seidel até que a máxima diferença entre iterações fique abaixo de .

Passo 2

Aplicando o critério de linhas sem permutar:
  • Na linha 1: lvert a11rvert=1 e lvert a12rvert+lvert a13rvert=2+1=3, logo 1not>3.
    Permutando linhas de todas as formas não conseguimos que todas as três linhas fiquem estritamente dominantes.
    Portanto o critério de linhas não se satisfaz, mesmo admitindo permutações.

Passo 3

Partimos para o critério de Sassenfeld. Como o elemento inviabiliza o cálculo direto, permutamos a linha 1 com a 2. O sistema fica:
Agora calculamos os coeficientes de Sassenfeld :
Como , o critério de Sassenfeld está satisfeito e podemos usar Gauss–Seidel neste sistema permutado.

Passo 4

Da forma Ax=b permutada obtemos as fórmulas de Gauss–Seidel:
x1^(k+1)=5 - x3^(k)2, x2^(k+1)=8 - x1^(k+1) - x3^(k)2, x3^(k+1)=1 - x1^(k+1) - x2^(k+1)3

Passo 5

Escolhemos x^(0)=(0,0,0) e iteramos até
maxil|xi^(k+1)-xi^(k)r|<0,05.
Iterações principais:
k=0:& x^(1)=(2,5000,;2,7500,,-1,4167), k=1:& x^(2)=(3,2083,;3,1042,,-1,7708), k=2:& x^(3)=(3,3854,;3,1927,,-1,8594), k=3:& x^(4)=(3,4297,;3,2149,,-1,8815),
e em k=3to4 temos
max|3,4297-3,3854|,dots=0,0443<0,05,
logo paramos em x^(4).

Resposta

A aproximação da solução é
(x1,x2,x3)approx(3,43,;3,21,;-1,88)

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