A economia de um carro (km/litro) varia com sua velocidade. Em um experimento, são feitas as cinco medições a seguir.
Velocidade (km/h) 16 40 64 88 112
Economia (km/litro) 4,2 9,2 10 10,7 8,6
Interpole os dados usando splines quadráticas e calcule a economia de combustível à velocidade de e

Passo 1

O enunciado fornece cinco pares (xi,yi), onde xi é a velocidade em km/h e yi é a economia em km/litro:
(x1,y1)=(16,4,2),;(x2,y2)=(40,9,2),;(x3,y3)=(64,10),;(x4,y4)=(88,10,7),;(x5,y5)=(112,8,6)
Pede-se interpolar por splines quadráticas e avaliar em x=48 e x=105.
Para o spline quadrático natural tomamos condições:
  1. Em cada intervalo [xi,xi+1] o spline si(x) é um polinômio de grau 2.
  2. si(xi)=yi e si(xi+1)=yi+1.
  3. As derivadas são contínuas em x2,x3,x4: si-1'(xi)=si'(xi).
  4. Condição natural no início: s1''(x1)=0.

Passo 2

Em vez de resolver o sistema todo, usamos o método recursivo que computa as derivadas nos nós:
Defina hi=xi+1-xi e De<ai=yi+1-yi.
Coloque m1=s1'(x1)=0 (natural).
Para i=1,dots,4,
mi+1=2,De<aihi-mi

Passo 3

Calculemos hi, De<ai e então mi:
h1=24,;De<a1=5,;m2=2cdot524-0=0,41667,
h2=24,;De<a2=0,8,;m3=2cdot0,824-0,41667=-0,35,
h3=24,;De<a3=0,7,;m4=2cdot0,724-(-0,35)=0,40833,
h4=24,;De<a4=-2,1,;m5=2cdot-2,124-0,40833=-0,58333

Passo 4

Em cada intervalo i, o spline é
si(x)=ai,(x - xi)^2 ;+; mi,(x - xi);+;yi,
com
ai=De<aihi-mihi
Para x=48 usamos o intervalo i=2 ( 40<= x<=64):
a2=0,824-0,4166724=-0,01597
Logo
s2(48)=-0,01597,(48-40)^2+0,41667,(48-40)+9,2=11,51 km/l

Passo 5

Para x=105 usamos o intervalo i=4 ( 88<= x<=112):
a4=-2,124-0,4083324=-0,02066
Então
s4(105)=-0,02066,(105-88)^2+0,40833,(105-88)+10,7=11,67 km/l

Resposta

Economia em 48 km/h: 11,51 km/l
Economia em 105 km/h: 11,67 km/l

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