Em cada um dos seguintes sistemas lineares abaixo, proceda da seguinte forma:
(i) aplique o critério das linhas (fazendo permutações de linhas, caso necessário). Caso o critério esteja satisfeito, utilize o método de Gauss-Jacobi para obter uma aproximação da solução;
(ii) se o critério das linhas não estiver satisfeito, aplique o critério de Sassenfeld (fazendo permutações, se necessário). Caso o critério esteja satisfeito, utilize o método de Gauss-Seidel para obter uma aproximação da solução;
Utilize o critério de parada . .
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
e pede para escolher entre Gauss–Jacobi (se o critério de dominância nas linhas for satisfeito, após permutar linhas se preciso) ou Gauss–Seidel (se o critério de Sassenfeld for satisfeito, novamente permitindo permutar linhas). Usaremos tolerância .
Passo 2
Aplicamos o critério de dominância em linhas: para cada linha i devemos ter
|aii|>sumjneq i|aij|
Na disposição original:
– Linha 1: |a11|=1 e soma dos outros |4|+|5|=9, não satisfaz 1>9.
– Linha 2: |a22|=3 e soma dos outros |4|+|6|=10, não satisfaz 3>10.
– Linha 3: |a33|=4 e soma dos outros |5|+|6|=11, não satisfaz 4>11.
Permutar as linhas apenas troca as equações de lugar, mas cada linha continua com a mesma soma de coeficientes fora da diagonal e o mesmo coeficiente diagonal; portanto, não existe permutação que torne todas as linhas estritamente dominantes.
Passo 3
Como falhou o critério nas linhas, testamos o critério de Sassenfeld na ordem original. Definimos
Como maxbetai=32,25>1, o critério falha. Tentar permutar linhas não altera as somas e os valores de betai iniciais, logo não há permutação que faça maxbetai<1.
Passo 4
Nenhum dos critérios — dominância nas linhas ou Sassenfeld — fica satisfeito mesmo permitindo permutação de linhas. Assim, não há garantia de convergência nem para Gauss–Jacobi nem para Gauss–Seidel, e não podemos obter uma aproximação pelo critério dado varepsilon=0,05.
Resposta
Não é possível aplicar nem o método de Gauss–Jacobi nem o de Gauss–Seidel com garantia de convergência, pois não se satisfaz o critério de dominância das linhas nem o critério de Sassenfeld em qualquer permutação de linhas.