Existe alguma permutação de linhas para o sistema linear
que faz com que o critério das linhas esteja satisfeito? Em caso afirmativo, resolva o sistema dado pelo método de Gauss-Jacobi com x^(0)=[l0 0 0] e varepsilon=0.01.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
A x = b, A = -9 & 5 & 6 2 & 3 & 1 -1 & 1 & -3 , b = 114-2,
e pergunta se existe alguma permutação de linhas de A (e de componentes de b) que torne o sistema estritamente diagonalmente dominante por linhas. Esse é o critério que garante a convergência do método de Gauss–Jacobi.
Passo 2
Verificamos a dominância linha a linha no sistema original. Para cada linha i de A, calculamos lvert aiirvert e o somatório das demais entradas dessa linha:
– Linha 1: lvert a11rvert = 9, soma dos outros coeficientes lvert5rvert + lvert6rvert = 11, logo 9<11 (falha).
– Linha 2: lvert a22rvert = 3, soma lvert2rvert + lvert1rvert = 3, logo 3=3 (não estrita).
– Linha 3: lvert a33rvert = 3, soma lvert1rvert + lvert1rvert = 2, logo 3>2 (ok).
Passo 3
Tentamos agora todas as permutações de linhas de A. Em cada caso, para cada nova linha i com coeficiente diagonal aii, comparamos lvert aiirvert com a soma dos outros valores absolutos da linha. Nenhuma das 6 permutações faz com que em todas as linhas se tenha
lvert aiirvert > sumjneq ilvert aijrvert
Sempre sobra ao menos uma linha que não satisfaz o critério estrito.
Resposta
Não existe permutação de linhas que torne o sistema estritamente diagonalmente dominante por linhas. Portanto, o critério das linhas não fica satisfeito e não podemos garantir a convergência do método de Gauss–Jacobi.