Para cada sequência de pontos, Aproxime uma função pelo método dos mínimos quadrados utilizando qualquer metodologia EXCETO a de matrizes, aproximando por uma função do segundo grau:
X
0
Y
1
0
1
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é um conjunto de 5 pontos com
E a tarefa é achar a parábola
que “melhor” se ajusta a esses pontos pelo método dos mínimos quadrados.
Conteúdo usado: normalização de somatórios (equações normais) e um truque de simetria para não precisar resolver 3×3 na marra.
Passo 2
Teoria rápida dos mínimos quadrados: a gente define o erro total
e exige para . Isso vira 3 equações lineares, as chamadas equações normais.
Mas note um detalhe legal: nossos e são simétricos em torno de . Se eu definir
então os valores de são , e os são iguais para . Daí o melhor ajuste em não tem termo linear: é
Depois a gente volta para com .
Passo 3
Calculemos os somatórios em :
.
Passo 4
As equações normais em (para minimizar ) são:
(1)
(2)
Substituindo os valores:
Resolvendo (dedo no cu: isolando na primeira e metendo na segunda), chega-se a
Passo 5
Agora voltamos para f(x) = A + B,(x-tfracpi2)^2 . Como f(x) = A + Bl(x^2 - pi x + tfracpi^24r) = underbracel(A + B,tfracpi^24r)a0 ;+;underbrace(-Bpi)a1,x ;+;underbraceBa2,x^2 , nossa parábola original