Para cada sequência de pontos, Aproxime uma função pelo método dos mínimos quadrados utilizando qualquer metodologia EXCETO a de matrizes, aproximando por uma função do segundo grau:
X 0 pi4 pi2 3 pi4 pi
Y 1 raiz22 0 raiz22 1

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um conjunto de 5 pontos
xi = 0,;pi4,;pi2,;3pi4,;pi e yi = 1,;raiz22,;0,;raiz22,;1 com
f(x) = a0 + a1 x + a2 x^2
E a tarefa é achar a parábola
que “melhor” se ajusta a esses pontos pelo método dos mínimos quadrados.
Conteúdo usado: normalização de somatórios (equações normais) e um truque de simetria para não precisar resolver 3×3 na marra.

Passo 2

Teoria rápida dos mínimos quadrados: a gente define o erro total
S(a0,a1,a2) = sumi=1^5 l(yi - (a0 + a1 xi + a2 xi^2)r)^2
e exige ui = xi - pi2, para g(u) = A + B,u^2 . Isso vira 3 equações lineares, as chamadas equações normais.
Mas note um detalhe legal: nossos e são simétricos em torno de . Se eu definir
então os valores de são , e os são iguais para . Daí o melhor ajuste em não tem termo linear: é
Depois a gente volta para com .

Passo 3

Calculemos os somatórios em :
  1. .

Passo 4

As equações normais em 5A + B;5pi^28 = 2+raiz2,[6pt] A;5pi^28 + B;17pi^4128 = pi^22 + pi^2raiz216 (para minimizar B = 8(4-raiz2)7pi^2, A = 6(2raiz2-1)35 ) são:
(1)
(2)
Substituindo os valores:
Resolvendo (dedo no cu: isolando na primeira e metendo na segunda), chega-se a

Passo 5

Agora voltamos para f(x) = A + B,(x-tfracpi2)^2 . Como f(x) = A + Bl(x^2 - pi x + tfracpi^24r) = underbracel(A + B,tfracpi^24r)a0 ;+;underbrace(-Bpi)a1,x ;+;underbraceBa2,x^2 , nossa parábola original
a2 = 8(4-raiz2)7pi^2, a1 = -,8(4-raiz2)7pi, a0 = 34 + 2raiz235
se expande em
Substituindo e :

Resposta

A parábola de melhor ajuste é
fbox% f(x)=34+2raiz235 ;-;8(4-raiz2)7pi,x ;+;8(4-raiz2)7pi^2,x^2
Essa é a aproximação pelo método dos mínimos quadrados, sem usar matriz diretamente.

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