Para cada sequência de pontos, Aproxime uma função pelo método dos mínimos quadrados utilizando qualquer metodologia EXCETO a de matrizes, aproximando por uma função do segundo grau:
X 0 pi4 pi2 3 pi4 pi
Y 0 raiz22 1 raiz22 0

Passo 1

Beleza, temos 5 pontos p(x)=a + b,x + c,x^2 com
e
.
Queremos achar um polinômio de 2º grau
que melhor “encaixe” esses pontos no sentido de mínimos quadrados.
Isso significa minimizar
.
O que vamos usar:
  • A ideia de normal equations: derivar a soma dos quadrados em relação a e zerar.
  • Calcular somas e .
  • Resolver o sistema de 3 equações lineares para .

Passo 2

Calcular os somatórios que aparecem nas equações normais:

Passo 3

Escrevemos as equações normais (derivadas parciais zeradas):
(1)
(2)
(3) .
Substituindo os valores:

Passo 4

  1. Da (1) e (2) simplificadas divide por , achamos
    b + π c = 0 ⇒ b = −π c.
  2. Substituindo nas equações restantes e fazendo um pouquinho de álgebra, chegamos a


Resposta

A melhor aproximação em mínimos quadrados por um polinômio de 2º grau é
boxed p(x) = 2raiz2 - 335 ;+; 16 + 8raiz27pi;x ;-; 16 + 8raiz27pi^2;x^2 ,

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