Seja o sistema linear:
c 4 x1+2 x2+6 x3=1 4 x1+x2+2 x3=2 -x1+5 x2+3 x3=3
a) Reordene as equações do sistema de modo que o Critério de Sassenfeld seja satisfeito.

Passo 1

Beleza, vamos ter o seguinte sistema linear:
4 x1+2 x2+6 x3=1, 4 x1+1 x2+2 x3=2, -1 x1+5 x2+3 x3=3
O conteúdo que vai rolar aqui é o Critério de Sassenfeld, que a gente usa pra garantir que o método de Gauss-Seidel converga. Precisamos reformular a ordem das equações para que, calculando os coeficientes β_i, todos fiquem menores que 1.

Passo 2

Lembra do critério de Sassenfeld? Dada a matrix A, a gente define, na ordem que escolhemos das linhas:
betai = 1aiil(sumji|aij|r)
E a convergência do Gauss-Seidel tá garantida se . Então vamos escolher uma ordem de equações e calcular esses β_i.

Passo 3

Testando a ordem:
  1. Linha original 2: beta1 = |1| + |2|4 = 34 = 0,75
  2. Linha original 3:
  3. Linha original 1:
Vamos calcular:
Para i=1 (linha 2 na ordem):

Passo 4

Para i=2 (linha 3 na ordem):
beta2 = |-1|beta1 + |3|5 = 1cdot0,75 + 35 = 3,755 = 0,75

Passo 5

Para i=3 (linha 1 na ordem):
beta3 = |4|beta1 + |2|beta26 = 4cdot0,75 + 2cdot0,756 = 3 + 1,56 = 4,56 = 0,75
Como todos os , o critério de Sassenfeld fica satisfeito nessa ordem.

Resposta

Reordenando o sistema como
4 x1 + 1 x2 + 2 x3 = 2, -1 x1 + 5 x2 + 3 x3 = 3, 4 x1 + 2 x2 + 6 x3 = 1,
ficamos com , ou seja, satisfaz o Critério de Sassenfeld.

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