l. integral x^2 sen(k x) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo para a gente calcular a integral
integral x^2,sin(kx),dx
Isso é conteúdo de cálculo integral, mais precisamente da técnica de “integração por partes”. Vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u,v ;-;integral v,du,
alem de saber derivar polinômios (como ) e integrar funções trigonométricas (como e ).

Passo 2

Primeiro uso de partes: escolho
u = x^2, dv = sin(kx),dx
Então
du = 2x,dx, v = integral sin(kx),dx = -cos(kx)k
Anota aí que a antiderivada de é .

Passo 3

Aplicando a fórmula integral x^2sin(kx),dx = x^2!l(-cos(kx)kr) ;-;integral l(-cos(kx)kr),2x,dx :
-x^2cos(kx)k +2k,integral x,cos(kx),dx
Isso vira

Passo 4

Agora falta resolver u = x, dv = cos(kx),dx ;Longrightarrow; du=dx, v = sin(kx)k . De novo, integração por partes:
integral xcos(kx),dx = xcdotsin(kx)k ;-;integral sin(kx)k,dx = xsin(kx)k ;+;cos(kx)k^2,
Então
pois , e o menos com o menos vira mais.

Passo 5

Volta para a expressão do Passo 3:
integral x^2sin(kx),dx = -x^2cos(kx)k +2kl(xsin(kx)k + cos(kx)k^2r) + C
Distribuindo -x^2cos(kx)k +2xsin(kx)k^2 +2cos(kx)k^3 + C e juntando tudo, dá

Resposta

boxed integral x^2sin(kx),dx = -x^2cos(kx)k +2xsin(kx)k^2 +2cos(kx)k^3 + C

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