Para cada sistema estrutural abaixo, encontre as raízes da equação característica e diga se a estrutura é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida.
2 y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+18 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e pede duas coisas:
  • Encontrar as raízes da equação característica associada à equação
2 y^{\prime\prime} + 12 y^{\prime} + 18 y = 0.
  • Dizer se a estrutura (o sistema) é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida.
Informações relevantes dadas: os coeficientes são 2 (de y^{\prime\prime}), 12 (de y^{\prime}) e 18 (de y). A resolução começa encontrando a equação característica e suas raízes, e depois usa o sinal do discriminante para classificar o amortecimento.

Passo 2

Primeiro passo técnico: obter a equação característica. A técnica padrão é tentar uma solução do tipo y(t)=e^{rt}. Então calculamos as derivadas:
y'(t)=r e^{rt},\qquad y''(t)=r^{2} e^{rt}.
Substituindo na equação dada:
2(r^{2} e^{rt}) + 12(r e^{rt}) + 18(e^{rt}) = 0.
Como e^{rt}\neq 0 para todo t, podemos dividir por e^{rt} e obter a equação característica em r:
2 r^{2} + 12 r + 18 = 0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
2 r^{2} + 12 r + 18 = 0.
Usamos a fórmula quadrática. Primeiro identificamos os coeficientes: a=2, b=12, c=18. O discriminante é
\Delta = b^{2} - 4ac.
Calculando:
\Delta = 12^{2} - 4\cdot 2 \cdot 18 = 144 - 144 = 0.
Portanto o discriminante é zero — isso significa que teremos uma raiz real dupla.

Passo 4

Com \Delta=0, a fórmula das raízes dá
r = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 \pm 0}{2\cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3.
Logo as raízes são iguais: r_{1}=r_{2}=-3 (raiz real dupla).

Passo 5

Classificação do amortecimento a partir do discriminante:
  • Se \Delta>0: duas raízes reais distintas \Rightarrow Superamortecida (overdamped).
  • Se \Delta=0: raiz real dupla \Rightarrow Criticamente Amortecida (critically damped).
  • Se \Delta<0: raízes complexas conjugadas com parte real negativa \Rightarrow Subamortecida (underdamped).
Como aqui \Delta=0, o sistema é Criticamente Amortecido.

Passo 6

Para completar: a solução geral da equação diferencial quando a característica tem raiz dupla r=-3 é
y(t) = \big(C_{1} + C_{2}\,t\big)\,e^{-3t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas por condições iniciais (se houver). Ficou claro até aqui? Vai dar certo na prova — essa é a receitinha: achar a característica, calcular \Delta, interpretar o sinal.

Resposta

Raízes: r_{1}=r_{2}=-3
Classificação: Criticamente Amortecida

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