Para cada sistema estrutural abaixo, encontre as raízes da equação característica e diga se a estrutura é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e pede duas coisas:
- Encontrar as raízes da equação característica associada à equação
- Dizer se a estrutura (o sistema) é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida.
Informações relevantes dadas: os coeficientes são
(de
),
(de
) e
(de
). A resolução começa encontrando a equação característica e suas raízes, e depois usa o sinal do discriminante para classificar o amortecimento.
Passo 2
Primeiro passo técnico: obter a equação característica. A técnica padrão é tentar uma solução do tipo
. Então calculamos as derivadas:
Substituindo na equação dada:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica em
:
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática
Usamos a fórmula quadrática. Primeiro identificamos os coeficientes:
,
,
. O discriminante é
Calculando:
Portanto o discriminante é zero — isso significa que teremos uma raiz real dupla.
Passo 4
Com
, a fórmula das raízes dá
Logo as raízes são iguais:
(raiz real dupla).
Passo 5
Classificação do amortecimento a partir do discriminante:
- Se
: duas raízes reais distintas Superamortecida (overdamped). - Se
: raiz real dupla Criticamente Amortecida (critically damped). - Se
: raízes complexas conjugadas com parte real negativa Subamortecida (underdamped).
Como aqui
, o sistema é Criticamente Amortecido.
Passo 6
Para completar: a solução geral da equação diferencial quando a característica tem raiz dupla
é
onde
e
são constantes determinadas por condições iniciais (se houver). Ficou claro até aqui? Vai dar certo na prova — essa é a receitinha: achar a característica, calcular
, interpretar o sinal.
Resposta
Raízes:
Classificação: Criticamente Amortecida
Classificação: Criticamente Amortecida