Em cada sistema linear A x=b abaixo, verifique se o critério das linhas é satisfeito e aproxime a solução pelo método de Gauss-Seidel, se possível:
A=(rrrr4 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & 0 0 & 0 & -1 & 4) e b=(c1 1 1 1)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear A x=b com
A = 4 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & 0 0 & 0 & -1 & 4 , b = 1111
O conteúdo aqui é verificar o critério das linhas (dominância diagonal por linhas) e, se for satisfeito, aproximar a solução por Gauss–Seidel.

Passo 2

Aplicamos o critério das linhas: para cada linha i deve valer
|aii|>= sumjneq i|aij|
Linha 1: |4|>=|-1|+|0|+|0|iff4>=1.
Linha 2: |4|>=|-1|+|-1|+|0|iff4>=2.
Linha 3: |4|>=|0|+|-1|+|0|iff4>=1.
Linha 4: |4|>=|0|+|0|+|-1|iff4>=1.
Todas as desigualdades são verdadeiras, logo A é diagonalmente dominante por linhas e o método de Gauss–Seidel converge.

Passo 3

No Gauss–Seidel usamos a fórmula iterativa
xi^(k) = 1aiil(bi - sumj<iaij,xj^(k) - sumj>iaij,xj^(k-1)r)
Para este sistema ficam as atualizações
x1^(k) &= 1 + x2^(k-1)4, x2^(k) &= 1 + x1^(k) + x3^(k-1)4, x3^(k) &= 1 + x2^(k)4, x4^(k) &= 1 + x3^(k)4

Passo 4

Escolhemos x^(0)=(0,0,0,0)^T e iteramos:
k =1:
x1^(1) &= tfrac1+04=0,2500, x2^(1) &= tfrac1+0,2500+04=0,3125, x3^(1) &= tfrac1+0,31254=0,3281, x4^(1) &= tfrac1+0,32814=0,3320
k =2:
x1^(2) &= tfrac1+0,31254=0,3281, x2^(2) &= tfrac1+0,3281+0,32814=0,4141, x3^(2) &= tfrac1+0,41414=0,3535, x4^(2) &= tfrac1+0,35354=0,3384
k =3:
x1^(3) &= 0,3535, x2^(3)=0,4268, x3^(3)=0,3567, x4^(3)=0,3392
k =4:
x1^(4) &= 0,3567, x2^(4)=0,4283, x3^(4)=0,3571, x4^(4)=0,3393

Passo 5

Vemos que já a partir da 4ª iteração os valores quase não mudam. Arredondando a 4 casas decimais, obtemos a aproximação
xapproxl(0,3567,;0,4283,;0,3571,;0,3393r)^T

Resposta

xapprox(0,3567,;0,4283,;0,3571,;0,3393)^T

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