Em cada sistema linear A x=b abaixo, verifique se o critério das linhas é satisfeito e aproxime a solução pelo método de Gauss-Seidel, se possível:
A=(ccc10 & 1 & 1 1 & 10 & 1 1 & 1 & 10) e b=(l12 12 12)

Passo 1

O enunciado pede para analisar o sistema linear
A x = b, A = 10 & 1 & 1 1 & 10 & 1 1 & 1 & 10, b = 12 12 12,
usando o método de Gauss–Seidel e verificar o critério de dominância diagonal pelas linhas.

Passo 2

O critério das linhas diz que, para cada linha i, deve valer
|aii| > sumjneq i |aij|
Aqui, em cada linha temos
|10| > |1| + |1| = 2,
logo A é estritamente diagonal dominante e o método de Gauss–Seidel converge.

Passo 3

As fórmulas iterativas de Gauss–Seidel são
x1^(k+1) = 110l(12 - x2^(k) - x3^(k)r),
x2^(k+1) = 110l(12 - x1^(k+1) - x3^(k)r),
x3^(k+1) = 110l(12 - x1^(k+1) - x2^(k+1)r)

Passo 4

Escolhendo o chute inicial x^(0)=(0,0,0), na primeira iteração ( k=0to1) obtemos
x1^(1) = 1210 = 1,2, x2^(1) = 12 - 1,210 = 1,08, x3^(1) = 12 - 1,2 - 1,0810 = 0,972

Passo 5

Na segunda iteração ( k=1to2) temos
x1^(2) = 12 - 1,08 - 0,97210 = 0,9948, x2^(2) = 12 - 0,9948 - 0,97210 = 1,00332,
x3^(2) = 12 - 0,9948 - 1,0033210 = 1,000188

Passo 6

Na terceira iteração ( k=2to3) obtemos
x1^(3) = 12 - 1,00332 - 1,00018810 = 0,9996492, x2^(3) = 12 - 0,9996492 - 1,00018810 = 1,00001628,
x3^(3) = 12 - 0,9996492 - 1,0000162810 = 1,000033452
Essa aproximação já está muito próxima de (1,1,1).

Resposta

A matriz satisfaz o critério de dominância diagonal estrita, logo o método de Gauss–Seidel converge. Após três iterações obtemos
x^(3) approx (0,99965,;1,00002,;1,00003)^T,
e a solução exata é
x = (1,,1,,1)^T

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