Considere o sistema linear A x=b em que
A=(ccc 10 & -1 & 4 1 & 10 & 9 2 & -3 & -10 ), b=(l 5 2 9 )
Entre os dois métodos iterativos, Jacobi e Gauss-Seidel, qual deles você aplicaria? por quê? Resolva-o pelo método escolhido com varepsilon<10^-2 na norma do máximo.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear Ax=b com
A= 10 & -1 & 4 1 & 10 & 9 2 & -3 & -10 , b=529
e pede que escolhamos entre os métodos iterativos de Jacobi e Gauss–Seidel, justificando a escolha, e depois resolvamos o sistema com tolerância varepsilon<10^-2 na norma do máximo. O conteúdo aplicado é a análise de convergência de métodos iterativos para sistemas lineares usando dominância diagonal.

Passo 2

Verificamos a dominância diagonal de
Ou seja, ), o que não garante convergência do método de Jacobi (que exige estrita dominância em todas as linhas). Por outro lado, Gauss–Seidel converge sempre que for irreduzivelmente diagonalmente dominante, o que ocorre aqui. Portanto escolhemos Gauss–Seidel.

Passo 3

Escrevemos as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel, usando chute inicial x^(0)=(0,0,0)^T:
x1^(k+1)=5 + x2^(k) - 4,x3^(k)10, x2^(k+1)=2 - x1^(k+1) - 9,x3^(k)10, x3^(k+1)=2,x1^(k+1) - 3,x2^(k+1) - 910

Passo 4

Iteramos até |x^(k+1)-x^(k)|infty<10^-2:
Iteração k=1:
x^(1)=(0,5000,;0,1500,;-0,8450)
Iteração k=2:
x^(2)=(0,8530,;0,8752,;-0,9919), |x^(2)-x^(1)|inftyapprox0,4030>10^-2
Iteração k=3:
x^(3)=(0,9843,;0,9943,;-1,0014), |x^(3)-x^(2)|inftyapprox0,1313>10^-2
Iteração k=4:
x^(4)=(1,0000,;1,0013,;-1,0004), |x^(4)-x^(3)|inftyapprox0,0157>10^-2
Iteração k=5:
x^(5)=(1,0003,;1,0003,;-1,0000), |x^(5)-x^(4)|inftyapprox0,00097<10^-2
Como a norma do máximo da diferença caiu abaixo de 10^-2, paramos.

Resposta

Aplicamos o método de Gauss–Seidel, pois A é diagonalmente dominante mas não estritamente em todas as linhas (Jacobi não está garantido). Com varepsilon<10^-2 na norma do máximo obtemos
xapprox 1,0003 1,0003 -1,0000

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