1. Considere o sistema linear
[ccc 2 & -1 & 8 0 & 2 & 1 -1 & 1 / 2 & 1 ][l x1 x2 x3 ]=[c 4 3 / 2 1 / 2 ]
Reescreva o sistema, ordenando as incógnitas e equações de forma que o método de GaussSeidel seja convergente quando aplicado ao sistema resultante. Calcule duas iteração do método a partir de x^(0)=[c0 -1 / 2 1].

Passo 1

O enunciado dá o sistema
e pede uma ordenação das incógnitas e das equações que torne o Gauss–Seidel convergente, mais duas iterações partindo de
.
O método de Gauss–Seidel converge com maior facilidade se a variável principal em cada equação tiver coeficiente “grande” na diagonal. Vamos reescrever o sistema trocando a ordem das incógnitas para
e a ordem das equações para que cada uma seja usada para atualizar nessa sequência.

Passo 2

Em termos de (y1,y2,y3)^T=(x3,x1,x2)^T e usando as equações na ordem original 1, depois 3, depois 2, obtemos:
— Origem: eq. 1, 2x1 - x2 +8x3=4. Substituindo x1=y2,;x2=y3,;x3=y1,
8y1 ;+;2y2;-;y3 ;=;4
— Origem: eq. 3, -x1 +tfrac12x2 +x3 = tfrac12. Fica
y1;-;y2;+;tfrac12y3;=;tfrac12
— Origem: eq. 2, 0cdot x1 +2x2 +x3 = tfrac32. Fica
y1 ;+;2y3;=;tfrac32
Em forma matricial, o sistema reescrito é
8y1 +2y2 -y3 =4, y1 -y2 +tfrac12y3 =tfrac12, y1 +2y3 =tfrac32

Passo 3

Aplicando Gauss–Seidel na ordem y1to y2to y3, isolamos:
y1 = 4 -2y2 + y38, y2 = y1 + tfrac12y3 - tfrac12, y3 = tfrac32 - y12
Partimos de
y^(0)=(y1,y2,y3)^(0)=(x3,x1,x2)^(0)=(1,,0,,-tfrac12).

Passo 4

Iteração k=0to1:
y1^(1) &= 4 -2cdot0 +(-tfrac12)8 = 3.58 = tfrac716, y2^(1) &= tfrac716 + tfrac12l(-tfrac12r) - tfrac12 = tfrac716 - tfrac14 - tfrac12 = -tfrac516, y3^(1) &= tfrac32 - tfrac7162 = tfrac2416-tfrac7162 = 1716cdot12 = tfrac1732
Convertendo de volta a x=(x1,x2,x3):
x^(1) = l(y2^(1),,y3^(1),,y1^(1)r) = l(-tfrac516,,tfrac1732,,tfrac716r)
Iteração k=1to2:
y1^(2) &= 4 -2cdot(-tfrac516) + tfrac17328 = 4 + tfrac58 + tfrac17328 = tfrac128+20+17328 = 16532cdot18 = tfrac165256, y2^(2) &= tfrac165256 + tfrac12cdottfrac1732 - tfrac12 = 165256 + 1764 - 128256 = 165 + 68 -128256 = tfrac105256, y3^(2) &= tfrac32 - tfrac1652562 = tfrac384-1652562 = 219256cdot12 = tfrac219512
Logo
x^(2)=l(y2^(2),,y3^(2),,y1^(2)r) =l(tfrac105256,,tfrac219512,,tfrac165256r)

Resposta

x^(1) = l(-tfrac516,,tfrac1732,,tfrac716r),
x^(2) = l(tfrac105256,,tfrac219512,,tfrac165256r)

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