Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
x+y+z & =2 2 x+3 y+2 z & =5 2 x+3 y+(a^2-1) z & =a+1.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x + y + z = 2, 2x + 3y + 2z = 5, 2x + 3y + l(a^2-1r)z = a + 1,
e pede para achar os valores de a em que o sistema não tem solução, tem solução única ou tem infinitas soluções. Vamos usar o critério do determinante da matriz de coeficientes e o teorema de Rouché–Capelli para classificar.

Passo 2

Escrevendo a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 2 & 3 & a^2 - 1 ,
calculamos seu determinante por expansão:
det(A) =1cdotdet3&23&a^2-1 -1cdotdet2&22&a^2-1 +1cdotdet2&32&3
Fazendo as contas obtemos
det(A)=a^2-3

Passo 3

Se det(A)neq0, ou seja, se
a^2-3neq0Long<=ftrightarrow aneqpmraiz3,
então a matriz é invertível e o sistema tem solução única.

Passo 4

Se det(A)=0, isto é a^2=3 (ou a=pmraiz3), as duas últimas equações têm a mesma parte esquerda
2x+3y+2z
mas valores diferentes no lado direito, pois a segunda dá 5 e a terceira dá a+1. Para haver consistência precisaríamos
a+1=5Longrightarrow a=4,
o que não coincide com a^2=3. Logo, para a=pmraiz3 o sistema fica inconsistente e não tem solução. Não há valor de a que torne o sistema dependente e compatível, portanto não existe caso de infinitas soluções.

Resposta

Para aneqpmraiz3: solução única.
Para a=pmraiz3: sistema sem solução.
Não há valores de a que gerem infinitas soluções.

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