Resolva os problemas
y^prime prime+3 y^prime+2 y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=0, g(t)=ll1, & 0 <= t<10, 0, & t >= 10

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO não homogênea
y'' + 3y' + 2y = g(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
onde
g(t)= 1,&0<= t<10, 0,&t>=10
O conteúdo é resposta a um “pulsesource” de duração 10, que podemos obter por convolução com a resposta ao impulso

Passo 2

Aplicamos \emph{transformada de Laplace} sob condição inicial nula e obtemos
Y(s)l(s^2+3s+2r)=G(s),
logo
Y(s)=G(s)(s+1)(s+2)
Como
G(s)=Lg(t)=integral0^10e^-st,dt=1-e^-10ss,
ficamos com
Y(s)=1-e^-10ss(s+1)(s+2)

Passo 3

Para identificar a resposta ao impulso h(t), consideramos G(s)=1, ou seja
H(s)=1(s+1)(s+2)
Por frações parciais
1(s+1)(s+2)=1s+1-1s+2,
então
h(t)=e^-t-e^-2t, t>=0

Passo 4

Usando convolução
y(t)=integral0^th(t-tau),g(tau),dtau,
para 0<= t<10 temos g(tau)=1, então
y(t) =integral0^tl[e^-(t-tau)-e^-2(t-tau)r],dtau =(1-e^-t)-1-e^-2t2 =12 - e^-t + e^-2t2

Passo 5

Para t>=10 o pulso vale 1 apenas em [0,10], daí
y(t) =integral0^10h(t-tau),dtau =integral0^th(t-tau),dtau -integral10^th(t-tau),dtau =y1(t)-y1(t-10),
onde y1 é a resposta ao degrau unitário. Logo
y(t) =l(12 - e^-t + e^-2t2r) -l(12 - e^-(t-10) + e^-2(t-10)2r),
que se reorganiza em
y(t) =e^-(t-10)-e^-t +e^-2t-e^-2(t-10)2

Resposta

y(t)= 12 - e^-t + e^-2t2,&0<= t<10,[1em] e^-(t-10)-e^-t +e^-2t-e^-2(t-10)2,&t>=10 ]

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