Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
x1+3 x2-2 x3 & +2 x5 2 x1+6 x2-5 x3-2 x4+4 x5-3 x6 & =-1 2 x1+6 x2 & +10 x4+15 x6=5 +8 x4+4 x5+18 x6 & =6;

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via Gauss–Jordan, o sistema linear
x1+3x2-2x3+2x5=0, 2x1+6x2-5x3-2x4+4x5-3x6=-1, 2x1+6x2+10x4+15x6=5, 8x4+4x5+18x6=6
Aqui temos 4 equações e 6 incógnitas, logo o sistema terá infinitas soluções. Vamos aplicar o método de Gauss–Jordan montando a matriz aumentada e reduzindo-a até a forma escada reduzida.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada l[Amid br]:
1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 &mid& 0 2 & 6 & -5 & -2 & 4 & -3 &mid& -1 2 & 6 & 0 & 10 & 0 & 15 &mid& 5 0 & 0 & 0 & 8 & 4 & 18 &mid& 6

Passo 3

Usamos a linha 1 para zerar as entradas da coluna 1 nas linhas 2 e 3:
R2 R2-2R1, R3 R3-2R1
Fica
1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 &mid& 0 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & -3 &mid& -1 0 & 0 & 4 & 10 & -4 & 15 &mid& 5 0 & 0 & 0 & 8 & 4 & 18 &mid& 6

Passo 4

Escolhemos pivot em (2,3). Primeiro normalizamos:
R2 -,R2;Longrightarrow; R2=(0;0;1;2;0;3mid1)
Depois zeramos a coluna 3 nas linhas 1 e 3:
R1 R1+2R2, R3 R3-4R2
O resultado é
1 & 3 & 0 & 4 & 2 & 6 &mid& 2 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 &mid& 1 0 & 0 & 0 & 2 & -4 & 3 &mid& 1 0 & 0 & 0 & 8 & 4 & 18 &mid& 6

Passo 5

Pivot em (3,4). Normalizamos:
R3 tfrac12R3;Longrightarrow;R3=(0;0;0;1;-2;tfrac32midtfrac12)
Zeramos a coluna 4 em linhas 1, 2 e 4:
R1 R1-4R3, R2 R2-2R3, R4 R4-8R3
Fica
1 & 3 & 0 & 0 & 10 & 0 &mid& 0 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & 0 &mid& 0 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & tfrac32 &mid& tfrac12 0 & 0 & 0 & 0 & 20 & 6 &mid& 2

Passo 6

Pivot em (4,5). Normalizamos:
R4 tfrac120R4;Longrightarrow; R4=(0;0;0;0;1;tfrac310midtfrac110)
Zeramos a coluna 5 em linhas 1, 2 e 3:
R1 R1-10R4, R2 R2-4R4, R3 R3+2R4
Obtemos a forma escada reduzida
1 & 3 & 0 & 0 & 0 & -3 &mid& -1 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -tfrac65 &mid& -tfrac25 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & tfrac2110 &mid& tfrac710 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & tfrac310 &mid& tfrac110

Passo 7

Da forma reduzida lemos:
x1+3x2-3x6&=-1, x3-tfrac65x6&=-tfrac25, x4+tfrac2110x6&=tfrac710, x5+tfrac310x6&=tfrac110
As variáveis x2 e x6 são livres. Chamando x2=s e x6=t, temos:
x1=-1-3s+3t, x2=s, x3=-tfrac25+tfrac65t, x4=tfrac710-tfrac2110t, x5=tfrac110-tfrac310t, x6=t

Resposta

boxed x1&=-1-3s+3t, x2&=s, x3&=-tfrac25+tfrac65t, x4&=tfrac710-tfrac2110t, x5&=tfrac110-tfrac310t, x6&=t, s,tinR

Exercícios relacionados