Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz A. Resolva-os usando o método de Gauss Jordan. Observe que os dois sistemas podem ser resolvidos ao mesmo tempo escalonando a matriz aumentada[A | B1 | B2].
(a) x1-2 x2+x3 & =1 2 x1-5 x2+x3 & =-2 3 x1-7 x2+2 x3 & =-1;
(b) rlx1-2 x2+x3= & 2 2 x1-5 x2+x3= & -1 3 x1-7 x2+2 x3= & 2.

Passo 1

O enunciado dá dois sistemas lineares com a mesma matriz de coeficientes
A= 1 & -2 & 1 2 & -5 & 1 3 & -7 & 2
e dois vetores-lado-direito
,B1=(1,,-2,,-1)^T e ,B2=(2,,-1,,2)^T
Vamos usar o método de Gauss–Jordan formando a matriz aumentada [Amid B1mid B2] e reduzi-la a forma reduzida por linhas (rref).

Passo 2

Formamos a matriz aumentada inicial:
1 & -2 & 1 &mid& 1 & 2 2 & -5 & 1 &mid& -2 & -1 3 & -7 & 2 &mid& -1 & 2
Para zerar abaixo do pivô da primeira coluna fazemos
R2 R2 - 2R1, R3 R3 - 3R1,
obtendo
1 & -2 & 1 &mid& 1 & 2 0 & -1 & -1 &mid& -4 & -5 0 & -1 & -1 &mid& -4 & -4

Passo 3

Agora tornamos pivô em 1 na segunda linha e zeramos acima e abaixo:
R2 -R2, R1 R1 + 2R2, R3 R3 + R2
Isso leva a
1 & 0 & 3 &mid& 9 & 12 0 & 1 & 1 &mid& 4 & 5 0 & 0 & 0 &mid& 0 & 1

Passo 4

Interpretando a forma reduzida por linhas:
– Para o primeiro sistema (coluna de B1), a terceira linha dá 0=0, indicando uma equação dependente e, portanto, uma família infinita de soluções com uma variável livre.
– Para o segundo sistema (coluna de B2), a terceira linha dá 0=1, que é uma contradição; logo esse sistema é incompatível.

Passo 5

Para o sistema (a) definimos parâmetro ,t = x3. Das duas primeiras linhas:
x2 + x3 = 4 ;Longrightarrow; x2 = 4 - t,
x1 + 3x3 = 9 ;Longrightarrow; x1 = 9 - 3t
Assim a solução geral é
l(x1,x2,x3r) =(9-3t,;4-t,;t), tinR
O sistema (b) não tem solução.

Resposta

(a) ,(x1,x2,x3)=(9-3t,;4-t,;t), tinR
(b) sem solução.

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