Para cada sistema linear i), ii) e iii), responda as questões abaixo.
a) É possível utilizar o método de Jacobi com garantia de convergência para qualquer x^(0) ?

Passo 1

Resumo do enunciado: para cada um dos três sistemas lineares i), ii) e iii) precisamos ver se dá para usar o método de Jacobi com garantia de convergência para qualquer vetor inicial .
Conteúdo da matéria: método iterativo de Jacobi e critério de convergência.
O que vamos precisar:
  1. escrever o método de Jacobi na forma matricial
  2. conhecer o critério prático de convergência (dominância diagonal)
  3. aplicar esse critério a cada sistema

Passo 2

Teoria do método de Jacobi:
Dado um sistema A = D - (,L + U,), , escrevemos
vec x^(k+1) ;=; D^-1(L+U),vec x^(k) ;+; D^-1,vec b
onde é a matriz diagonal de , é a parte estrita inferior e a parte estrita superior.
A iteração de Jacobi é
A convergência para qualquer ocorre se, e só se, o raio espectral
.
Como isso é chato de calcular diretamente, usamos um critério suficiente mais fácil:

Passo 3

Critério de dominância diagonal (suficiente):
Se em cada linha l|ajjr| ;>;sumkneq jl|ajkr|, da matriz tivermos
então e o método de Jacobi converge garantidamente para qualquer .
Caso a matriz não seja estritamente diagonalmente dominante por linha, não temos essa garantia (pode até convergir em alguns casos, mas sem garantia geral).

Resposta

Para cada sistema i), ii) e iii), basta verificar se a matriz associada é estritamente diagonal dominante por linha:
  • Se sim → Jacobi converge para qualquer .
  • Se não → não há garantia de convergência para qualquer .

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