Para cada sistema linear i), ii) e iii), responda as questões abaixo.
a) É possível utilizar o método de Jacobi com garantia de convergência para qualquer ?
Passo 1
Resumo do enunciado: para cada um dos três sistemas lineares i), ii) e iii) precisamos ver se dá para usar o método de Jacobi com garantia de convergência para qualquer vetor inicial .
Conteúdo da matéria: método iterativo de Jacobi e critério de convergência.
O que vamos precisar:
escrever o método de Jacobi na forma matricial
conhecer o critério prático de convergência (dominância diagonal)
aplicar esse critério a cada sistema
Passo 2
Teoria do método de Jacobi:
Dado um sistema , escrevemos
onde é a matriz diagonal de , é a parte estrita inferior e a parte estrita superior.
A iteração de Jacobi é
A convergência para qualquer ocorre se, e só se, o raio espectral .
Como isso é chato de calcular diretamente, usamos um critério suficiente mais fácil:
Passo 3
Critério de dominância diagonal (suficiente):
Se em cada linha da matriz tivermos
então e o método de Jacobi converge garantidamente para qualquer .
Caso a matriz não seja estritamente diagonalmente dominante por linha, não temos essa garantia (pode até convergir em alguns casos, mas sem garantia geral).
Resposta
Para cada sistema i), ii) e iii), basta verificar se a matriz associada é estritamente diagonal dominante por linha:
Se sim → Jacobi converge para qualquer .
Se não → não há garantia de convergência para qualquer .