Considere o método de Jacobi para resolver o sistema A cdot x=b com A n times n e x^(0) dado. Quantas operações são necessárias para calcular x^(1)?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Considere o método de Jacobi para resolver o sistema com de tamanho e vetor inicial . Quantas operações são necessárias para calcular ?”
Conteúdo envolvido: método iterativo de Jacobi e análise de complexidade (contagem de multiplicações, somas/subtrações e divisões). Vamos precisar da fórmula de atualização do Jacobi e depois contar direitinho cada operação.

Passo 2

Fórmula do Jacobi, pra cada componente xi^(1) ;=;1aii;l(bi ;-;sumjneq i aij,xj^(0)r) :
Isso significa: primeiro a gente calcula a soma , depois faz menos essa soma e, por fim, divide por .

Passo 3

Vamos contar as operações para um dado :
  1. Soma interna
    • Precisamos de multiplicações .
    • Para somar termos usamos adições (somar termos dá somas).
  2. Subtração de menos essa soma: 1 adição/subtração.
  3. Divisão pelo : 1 divisão.
Então, por cada rolou:
  • Multiplicações:
  • Adições/subtrações:
  • Divisões: 1

Passo 4

Agora soma isso pra todo n(n-1) + n(n-1) + n ;=;2,n(n-1) + n ;=;2n^2 - n :
  • Total de multiplicações:
  • Total de adições/subtrações:
  • Total de divisões:
Somando tudo dá

Resposta

Para calcular pelo método de Jacobi são necessárias
  • multiplicações,
  • adições/subtrações,
  • divisões,
    totalizando operações.

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